Factorisation des polynômes

pour n = 5, on obtient le nombre 4 294 967 297 qui est divisible par 641 (démontré par Euler en 1732). En fait aucune formule très simple ne convient. Le document ci-dessous en propose quelques unes. On montre par exemple qu'aucune fonction polynôme ne donne que des nombres premiers sauf dans le cas trivial où la formule est constante. En 1947, W. Mills étonne la communauté mathématique en établissant l'existence d'une constante A qui, insérée dans une formule, donne un nombre premier pour

Analyse 107 16. Ensembles, fonctions et hypothèse du continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème

telle que ayH (x) + byH (x) + cyH (x) = 0. (2.27) Cela se fait en utilisant la méthode du polynôme caractéristique. Ensuite, il faut trouver une solution particulière yP (x) de l’équation avec le second membre. Une seule. Pour y parvenir, il faut du doigté et un peu de technique. Il faut faire des essais en fonction de ce à quoi ressemble le v(t) : a. Si v(x) est un polynôme, alors il faut essayer un polynôme, b. Si v(x) = cos(ωx) ou bien v(x) = sin(ωx), alors essayer yP (x) = A cos(x) + B sin(ωx)

que ′′ ′ ayH (x) + byH (x) + cyH (x) = 0. (2.27) Cela se fait en utilisant la méthode du polynôme caractéristique. Ensuite, il faut trouver une solution particulière yP (x) de l’équation avec le second membre. Une seule. Pour y parvenir, il faut du doigté et un peu de technique. Il faut faire des essais en fonction de ce à quoi ressemble le v(t) : a. Si v(x) est un polynôme, alors il faut essayer un polynôme, b. Si v(x) = cos(ωx) ou bien v(x) = sin(ωx), alors essayer yP (x) = A cos(x) + B sin(ωx)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 2.3.3 TABLE DES MATIÈRES Polynôme de Hirzebruch . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 23 23 23 24 25 27 27 28 29 29 29 31 33 33 33 35 35 38 38 39 39 41 41 43 47 47 47 49 51 52 52 53 54 54 56 57 3 Homotopie rationnelle 3.1 Rationalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prompt A, B, C : – B/2A → U : – (B2 – 4AC)/(4A) → V : Disp U : Disp V c) f (x) = x2 – 4x + 7 donc a = 2 et b = 3 • f (x) = 3x2 + 24x + 41 donc a = – 4 et b = – 7    21    • #1 ne coupe pas l’axe des abscisses donc pas de factorisation possible. 1 f2 (x) = (x – 1) (x – 5) 2 1 f3 (x) = (x – 1) (x + 1) 2 3 f4 (x) = – (x + 2) (x – 2) 4 22    a) ∆ = 5 x1 = –7 + 5 7 − 5 –7 – 5 7 + 5 = = 2 –2 2  ; x2 = –2 b) x1 ≈ 4,62 et x2 ≈ 2,38 23    a) Les sommets des

géométrique). Soit P un polynôme de degré d > 0. Montrer que, si R est assez grand, le lacet γR : t ∈ [0, 1] −→ P(Re2iπt ) est de support inclus dans C∗ et que le degré de ce lacet, c’est-à-dire l’indice I(γR , 0), vaut exactement d . Vérifier que, si P ne s’annulait pas dans C, le lacet γR serait homotope dans C∗ (dans l’homotopie entre lacets libres définie à l’Exercice I.28) au lacet constant t ∈ [0, 1] −→ P(0). En déduire une démonstration géométrique du théorème de d’Alembert (tout polynôme de degré strictement

1.9 (Continuité en un point, continuité sur un ensemble) Soit f : A ⊆ Ên → Êp et a ∈ A. On dit que f est continue en a si limx→a f (x) = f (a). On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point de A. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fonctions trigonométriques...) sont continues sur leur domaine de définition. Puisque la plupart des fonctions que l’on rencontrera seront construites à partir de ces fonctions usuelles, il suffira d’invoquer les “propriétés opératoires classiques”

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Les fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.3 Racines d'un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4

....... 185 CHAPITRE 1 Le second degré A Le programme Contenus Capacités attendues Commentaires Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de