Factorisation des polynômes

´galement la factorisation de l’angle moiti´ : e e ix ix ix ix eix + 1 = e 2 ix e 2 + e− 2 ix e 2 − e− 2 eix − 1 = e 2 a Abraham ix = 2e 2 cos ix = 2ie 2 sin x 2 x 2 De Moivre, (26/05/1667), Fran¸ais. Auteur de la formule attribu´e injustement a Stirling c e ` Euler, (15/04/1707-18/09/1783), Suisse. Un des math´maticiens les plus productif. Il a trouv´ un e e nombre incroyable de formules b Leonhard Remarque 26. On a la factorisation de l’angle

un + 1 < un pour tout n ʦ ‫.ގ‬ (un) est décroissante. d. (u n) est décroissante et minorée donc (u n) converge. 2. a. Voir fichiers logiciels. b. un < 1,000 3 pour n ⩾ 8. Un < 1,000 05 pour n ⩾ 9. 62 a. Pn est dérivable sur en tant que polynôme. Pn’(x) = nxn – 1 + (n – 1)xn – 2 + … + 2x + 1. Pn’(x) > 0 pour tout x ʦ ‫ +ޒ‬et n ⩾ 2. Donc Pn est strictement croissante sur ‫ +ޒ‬pour tout n ⩾ 2. b. ‫+ޒ‬ x 0 1 n–1 Pn –1 Pn est continue et strictement croissante sur [0

tan(a+b), cos 2x, sin 2x, tan 2x. Ils doivent savoir exprimer sin θ, θ cos θ, tan θ et eiθ ` l’aide de tan et relier a 2 ces formules ` la repr´sentation param´trique a e e rationnelle du cercle trigonom´trique priv´ de e e −1. § Lin´arisation et factorisation d’expressions trigonom´e e triques. MPSI ´ Arguments d’un nombre complexe non nul. Ecriture d’un nombre complexe z = 0 sous la forme ρ eiθ o` ρ > 0 et u θ ∈ R (forme trigonom´trique). e Racines n-i`mes de l’unit´. R´solution de l’´quation z

inverser. Calculer f (f −1 (x)) pour vérifier qu’il s’agit de la fonction identique est immédiat. Par contre déduire f −1 de f est impossible. Les algorithmes tels que le RSA basent la construction des fonctions f et f −1 sur le problème de la factorisation d’un nombre entier N très grand. Trouver les facteurs premiers de N est une tâche pour laquelle nous ne connaissons que des algorithmes ayant complexité exponentielle. Si par contre nous connaissons les facteurs N1 et N2 , vérifier que N1 ∗ N2

. . . . . . 16.4.2 Limite d’une somme . . . . . . . . 16.4.3 Limite d’un produit . . . . . . . . . 16.4.4 Limite de l’inverse . . . . . . . . . 16.4.5 Limite d’un quotient . . . . . . . . 16.4.6 Cas des formes indéterminées . . 16.4.7 Fonctions polynôme et rationelle 16.4.8 Règles d’encadrement . . . . . . . 16.5 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.1 Asymptote verticale . . . . . . . . 16.5.2 Asymptote horizontale . . . . . . . 16.5.3 Asymptote oblique . . . . . . . . . 16.6 Exercices

plus “pures”, la th´eorie des nombres a trouv´e des applications en informatique, cryptographie (code de cartes bancaires par exemple). Un des probl`emes fondamentaux est de trouver (ou de prouver qu’il n’existe pas) un algorithme “rapide” de factorisation en produit de nombres premiers. L’arithm´etique dans N est souvent simplifi´ee par l’introduction des nombres n´egatifs, i.e. par l’introduction de l’anneau Z. ´ 5.1 ARITHMETIQUE Nous supposons connu l’ensemble Z := {. . . , −n, −n + 1, . . .

claire pour exprimer cette intention ; e e – si s est un scalaire et A une matrice, s.^A donnera la matrice [saij ]. 2.3.3 R´soudre un syst`me lin´aire e e e Pour r´soudre un syst`me lin´aire dont la matrice est carr´e, Scilab utilise une factorisation LU avec e e e e pivot partiel suivie de la r´solution des deux syst`mes triangulaires. Cependant ceci est rendu transparent e e pour l’utilisateur par l’interm´diaire de l’op´rateur \, essayer : e e 14 -->b=(1:3)’ b = ! 1. ! ! 2. ! ! 3. ! -->x=A\b

ses réponses. L’usage par les élèves de nombreuses formulations approximatives ou impropres dénote un manque de rigueur laissant penser que les notions utilisées sont méconnues et le savoir de l’élève mal construit. Par exemple : • rép. 2 : « polynôme de degré n » ; • rép. 3 : « en multipliant 3 par n’importe quel exposant n » ; • rép. 4 : « p ⇒ nombre pair » ; • rép. 5 : « + 1 annule l’imparité » ; • rép. 11 : « un chiffre un nombre pair » ; • rép. 15 : « car il y a un décalage de pair

“pures”, la th´orie des nome e e bres a trouv´ des applications en informatique, cryptographie (code de cartes bancaires par e exemple). Un des probl`mes fondamentaux est de trouver (ou de prouver qu’il n’existe pas) e un algorithme “rapide” de factorisation en produit de nombres premiers. L’arithm´tique e dans N est souvent simplifi´e par l’introduction des nombres n´gatifs, i.e. par l’introduction e e de l’anneau Z. ´ 5.1 ARITHMETIQUE Nous supposons connu l’ensemble Z := {. . . , −n, −n + 1, . .

du professeur 1 Les fonctions de référence Programme officiel Contenus Capacités attendues Commentaires Second degré Forme canonique d’une fonction polynôme de degré deux. Équation du second degré, discriminant. Signe du trinôme. • Déterminer et utiliser la forme la plus adéquate d’une fonction polynôme de degré deux en vue de la résolution d’un problème : développée, factorisée, canonique. On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de