Factorisation des polynômes

domaine de définition 1C. Principaux ensembles de nombres 1D. Les symboles logiques ⇒, ⇔ ; les quantificateurs 2. Rappels des principales techniques de calcul dans R 2A. Représentation des réels 2B. Calculs numériques 2C. Développements, factorisations 2D. Valeur absolue 2E. Ordre dans R 8 2067 TG PA 00 3. Equations 3A. Généralités 3B. Equations polynomiales du premier degré 3C. Equations polynomiales du second degré 3D. Equations polynomiales de degré strictement supérieur à

© Cned – Académie en ligne C orrigé Séquence 2 Corrigé des activités du chapitre 2 Activité 1 Étude d’une fonction coût Soit C la fonction définie sur [0 ; 20] par C ( x ) = 2x 3 − 54 x 2 + 500 x + 392. 1  a fonction C est une fonction polynôme dérivable sur [0 ; 20].  L La fonction dérivée C ‘ est définie par C '( x ) = 6 x 2 − 108 x + 500. Le trinôme 6 x 2 − 108 x + 500 a pour discriminant ∆ = −336. Comme ∆ < 0 le trinôme garde un signe constant sur [0 ; 20] ; ce signe étant le même

cos 2x = cos 2x = sin 2x = tan 2x = (1) (2) (3) 6 2°) On pose : tan x = t . Exprimer en fonction de t : cos x, sin x et tan x. 2 cos x = sin x = tan x = Si tan x = t , on a: 2 .../... 3°) Formules de linéarisation et de factorisation : a) En utilisant les résultats rappelés dans les tableaux précédents, compléter en fonction de : cos (a - b), sin (a - b), cos (a + b) et sin (a + b), le premier tableau ci-dessous. b) En posant : p = a + b et q = a - b, déduire du premier tableau

Site de Rennes 7 rue du Clos Courtel 35050 Rennes Cedex 9 Sommaire Conseils généraux p.5 Séquence 1 Proportions p.7 1. Pré-requis 2. Proportion 3. Synthèse Séquence 2 Second degré p.35 1. Pré-requis 2. Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2 3. Équation du second degré 4. Signe du trinôme 5. Synthèse Séquence 3 Taux d’évolution p.59 1. Pré-requis 2. Taux d’évolution 3. Synthèse Séquence 4 Statistiques 1. Pré-requis 2. Médiane, quartiles, diagrammes en boîte 3. Moyenne

second degré p.154 3. Équation du second degré p.164 4. Factorisation et signe du trinôme ax2 + bx + c p.171 5. Algorithmique p.177 6. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.179 7. Exercices d’approfondissement p.182 150 Séquence 3 – MA12 1 Pré-requis A Définitions Définitions Etant donnés trois nombres réels a, b et c, avec a ≠ 0, la fonction f, définie sur » par f ( x ) = ax 2 + bx + c , est appelée fonction polynôme de degré deux ou encore fonction du second degré. La quantité

M(a, b) pour lesquels a2 + b2 = 1 est le cercle de centre O et de rayon 1 (cercle unité) Comme z ¹ i, le lieu des points M tels que iz - 1 soit réel est le cercle unité privé du point d'affixe i. z -i 4.8. Application du théorème 4.7. : si un polynôme P, à coefficients réels, admet un nombre complexe Z comme racine alors Z est aussi une racine de P puisque, d'après les propriétés de la conjugaison (qui commute avec les exposants, les produits et les sommes) : P( Z ) = P ( Z ) et donc si P(Z) =

anneaux commutatifs et leurs modules. Localisation : idéaux premiers, racine d’un idéal, anneaux et modules de fractions, anneaux locaux. Dépendance entière : clôture intégrale, théorème de montée. Anneaux et modules noethériens, anneaux de polynômes sur un anneau noethérien. Ensembles algébriques affines, théorème des zéros de Hilbert, ensembles algébriques irréductibles et idéaux premiers, propriétés des courbes planes, dimension des variétés. Applications. Méthodes numériques (3-0-6)

0¯ Ê nˆ Ê nˆ En multipliant Á ˜ a n- k b k par b, on obtient Á ˜ a n- k b k +1. Ë k¯ Ë k¯ Ê n ˆ n - k -1 k +1 En multipliant Á a b par a, on obtient Ë k + 1˜¯ Ê n ˆ n - k k +1 ÁË k + 1˜¯ a b . L’addition des deux nombres et la factorisation donne ÊÊ nˆ Ê n ˆˆ n - k k +1 ÁËÁË k ˜¯ + ÁË k + 1˜¯˜¯ a b . Or, on démontre en classe de Ê nˆ Ê n ˆ Ê n + 1ˆ Première que Á ˜ + Á = . Ë k ¯ Ë k + 1˜¯ ÁË k + 1˜¯ Ê n + 1ˆ . Le coefficient de b k +1 dans (a + b)n +1 est donc Á Ë k + 1˜¯

b) si signe y ‘ ( x ) = signe (a x + b )  polynôme de degré 1  change de signe en - b / a x   - b / a +  signe ( a x + b ) - signe a 0 signe a Ex : f ( x ) = 3Ln ( x + 1 ) – 2 Ln ( x – 1 ) définie sur D = ] –1 ; 1 [ f ‘( x ) = [ x – 5 ] / ( x + 1) ( x – 1) Or le dénominateur > O sur D  signe f ‘ ( x ) = signe [ x – 5 ] donc f ‘ ( x ) < o sur D  f décroît c) si signe y ‘ ( x ) = signe ( a x 2 + b x + c ) polynôme de degré 2, discriminant  = b 2 – 4 ac

problème, il s’agit de : – combiner les apports de l’utilisation d’un graphique et d’une résolution algébrique, – mettre en relief les limites de l’information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques. Expressions algébriques Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème. • Associer à un problème une expression algébrique. • Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée)