Factorisation des polynômes

la question d’ouverture du chapitre L’action permettant de transformer un produit de facteurs en une somme de termes est le développement de l’expression. L’action permettant de transformer une somme de termes en un produit de facteurs est la factorisation de l’expression. Corrigés des activités 1 Reconnaître la forme d’une expression algébrique b. c. d. e. f. g. h. i. somme différence produit produit quotient différence produit différence différence 1 G a. 2 G A:2 B:3 C:1 D:5 E:4

Réponse : |elephant| · |banane| · sin(θ). 45. Qu’est-ce qu’un Kinder Surprise sans jouet dedans ? Réponse : un Kinder injectif, car son noyau est réduit à zéro. 46. Quelles sont les fonctions les moins sérieuses des mathématiques ? Réponse : les polynômes du second degré. 47. Qu’est-ce qui est poli et travaille pour une entreprise téléphonique ? Réponse : un opérateur déférentiel. 48. Pourquoi, après un diner dans un restaurant chinois, les mathématiciens préfèrent-ils emporter les restes à la maison

la question d’ouverture du chapitre L’action permettant de transformer un produit de facteurs en une somme de termes est le développement de l’expression. L’action permettant de transformer une somme de termes en un produit de facteurs est la factorisation de l’expression. Corrigés des activités 1 Reconnaître la forme d’une expression algébrique 1 a. ● b. c. d. e. f. g. h. i. somme différence produit produit quotient différence produit différence différence 2 A:2

3, u, v] > nops(c); 5 > op(4,c); u > c[4]; u > d:=[2,5*u,4*v]; d := [2, 5 u, 4 v] > e:=[op(c),op(d)]; e := [1, 2, 3, u, v, 2, 5 u, 4 v] > map(x->x^2,c); [1, 4, 9, u2 , v 2 ] La formule de Rodrigues pour les polynomes d’Hermite est Hn (x) := (−1)n ex 2 dn −x2 (e ) dxn On peut les calculer en repetant une mˆme commande ` l’aide de diff. Soit e a > n:=0:c:=[n,exp(-x^2)]; c := [0, e(−x ) ] > 2 n:=n+1:c:=[n,factor(diff(c[2],x))]; 14 c := [1, − 2 x

+ 3 2. x signe de – x2 + 6x + 9 c. x signe de – 4x2 – 11x + 3 d. x signe de x2 + 3x + 5 –∞ – –3 0 + 1 4 0 – +∞ –∞ – x1 0 + x2 0 – +∞ –∞ + +∞ 43 Voir sur le site www.didiermathx.com. 44 a. 3(x – 3)(x + 1) b. – (x – 2)(x + 14) c. et d. Pas de factorisation. 45 a. x - 2 - 5 ( x - 2 + 5 ) b. (x – 3)(x + 2) 1 c. 3(x + 2)(x + ) 3 9 46 1. P(x) = 4 x(x + 1) (x - ) 4 d. 16 x + ( ) 49 a. x2 – 4 > 0 sur ]– ∞ ; – 2[ ∪ ] 2 ; + ∞[ et x2 – 4 ≤ 0 sur [– 2 ; 2]. b. 4x2 – 8 > 0 sur ]– ∞ ; – 2 [ ∪ ] 2 ; + ∞[ et

x2 – 4x = (x – 2)2 + (– 4) donc les nombres sont 2 et – 4. 3 2 18 3 2 62 40 2x2 – 3x + 5 = 2΂x – ΃ – + 5 = 2΂x – ΃ – . D’où ᏿ = Ά · 3 31 ;– . 4 8 4 16 4 16 41 x2 – 8x + 4. 42 (2x – 3)(2 – x) = – 2x2 + 7x – 6 : a = – 2, b = 7 et c = – 6. POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ. FORME CANONIQUE 43 a) 2(x – 2)2 – 7. ΂ ΃ 1 2 13 b) – 3 x – + . 3 3 5 2 53 c) x + – . 2 4 3 2 9 d) – x – + . 2 4 ΂ ΃ ΂ ΃ 44 Corrigé dans le manuel. 45 1. a) f(x) = x2 – 9 – 2x2 + 2x + 12 = – x2 + 2x + 3. b) – (x – 1)2 + 4

Afficher « pas de racine » FinSi Si d = 0 Alors Afficher « une racine : », r1 FinSi Si d > 0 Alors Afficher « deux racines : », r1, « et », r2 FinSi 43 Voir sur le site www.didiermathx.com. 44 a. 3(x – 3)(x + 1) b. – (x – 2)(x + 14) c. et d. Pas de factorisation. ( ) 45 a. x - 2 - 5 ( x - 2 + 5 ) b. (x – 3)(x + 2) 1 c. 3(x + 2)(x + ) 3 9 46 1. P(x) = 4 x(x + 1) (x - ) 4 20 ( 34) d. 16 x + 2 La courbe semble être une droite. 2. – x2 + 3x + 4 = – (x – 4)(x + 1) 3. f (x) = – x + 4 mais ceci n’est

), coefficient (math.), ~ of merit, facteur de mérite factor (to) = factorise (to) factorial adj. n. (math.), factoriel adj., factorielle n f. factorisation n. (math.), factorisation f., mise f. en facteurs factorise (to) v. t. (math.), factoriser, mettre en facteurs factorization = factorisation factorize (to) = factorise (to) factorship = factorisation facula (pl. -lae) n. (astro.), facule f. faculary adj. (astro.), faculaire fading n. (télécom.), fading m., interfé- rences f. pl. (en radio ou

), coefficient (math.), ~ of merit, facteur de mérite factor (to) = factorise (to) factorial adj. n. (math.), factoriel adj., factorielle n f. factorisation n. (math.), factorisation f., mise f. en facteurs factorise (to) v. t. (math.), factoriser, mettre en facteurs factorization = factorisation factorize (to) = factorise (to) factorship = factorisation facula (pl. -lae) n. (astro.), facule f. faculary adj. (astro.), faculaire fading n. (télécom.), fading m., interférences f. pl. (en radio ou télévision)

valeurs) ; s'il vaut "1" on normalise par rapport à "n" Calcule la médiane Retourne vecteur ou matrice de covariance Fonctions en relation avec vecteurs propres et valeurs propres (voir help) Fonctions en relation avec les méthodes de décomposition/factorisation de type : - LU, Cholesky, QR, Hessenberg, - Schur, valeurs singulières, householder, Krylov... std(var{,f{,d}}) median(var{,d}) cov eig , eigs , svd , svds , cond , condeig ... lu , chol , qr , qzhess , schur , svd , housh , krylov ...