Fonction linéaire

seule : Toute combinaison linéaire de F appartient à F (stabilité par combinaison linéaire) : ∀ u∈F, ∀ v∈F, ∀ λ ∈ R, ∀ µ ∈ R , λ u + µ v ∈ F Preuve. 1) Comme tous les éléments de F sont des éléments de E, ils vérifient naturellement toutes les propriétés de l’espace vectoriel. Le seul risque est qu’au cours des opérations, on sorte de F pour aller dans E : ce risque est 2 éliminé par les propriétés exigées par le théorème. 2.1) si F est stable par combinaison linéaire c’est à dire λ u + µ v ∈ F

tarso-métatarse d’un poussin, elle, varie de 14,47 mm à 16,82 mm. La masse moyenne des poussins (Figure 1) et la taille moyenne du tarso-métatarse (Figure 2) diminuent lorsque le nombre de parasites dans le nid augmente. D'après la droite de régression linéaire obtenue, la masse moyenne d'un poussin est de 9,63g lorsque le nid ne contient pas de parasite, et de 8,5g lorsqu'il y a un grand nombre de parasites (100). De même, la taille moyenne du tarso-métatarse d'un poussin est de 16,24mm lorsque le nid

dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 17 Matrices et applications linéaires Sommaire 17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . 17.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . 17.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire 17.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Changements de bases . . . .

Correction DM 7 Exercice 1 On cherche donc une fonction f de la forme f ( x ) =ax+b telle que f ( 3 ) =17 et f ( 7 ) =33 Calcul de a : a= f ( 3 ) − f ( 7 ) 17−33 −16 = = =4 3−7 −4 −4 Calcul de b : f ( 3 ) =17=4×3+b d'où b=5 On a donc f ( x ) =4 x +5 ; Décodage : f ( −1 ) =4×( −1 ) +5=1 ; f ( 2 ) =4×2+5=13 ; f ( 1 )=4×1+5=9 : le code est donc 1139. Exercice 2 1) x ∈ [ 0 ;6 ] 2) a) Aire de ABM= 8 ; aire de BCM=16. b) aire de BMC=15 pour x≈2 , 24 . c) les deux aires sont égales pour x=3 . 3) a)

(−1) 1    ∈ Mn (R) Exercice 18 [ 01262 ] [correction] Soit A ∈ Mn (K) telle que la matrice I + A soit inversible. On pose B = (I − A)(I + A)−1 . a) Montrer que B = (I + A)−1 (I − A). b) Montrer que I + B est inversible et exprimer A en fonction de B. Exercice 19 [ 03420 ] [correction] Soient A, B, C ∈ Mn (K) (n 2) non nulles vérifiant ABC = On |ai,j | < |ai,i | Montrer qu’au moins deux des matrices A, B, C ne sont pas inversibles. Montrer que la matrice A est inversible. Exercice 15

l’application lin´aire de R3 dans lui mˆme d´finie par : f (e2 ) = w2 e e e  f (e3 ) = w3 1. (a) Soit v ∈ R3 , v = (x, y, z). Justifier que f (v) = (3x − y + z, −x + 3y + z, 2x + 2y + 2z). (b) Calculer f (w1 ), f (w2 ) et f (w3 ) puis les exprimer en fonction de w1 , w2 et w3 . En d´duire que f ◦ f = 4f . e 2. D´terminer ker(f ). (On donnera une base ainsi que la dimension de ker(f )). e f est-elle injective ? 3. (a) Quelle est la dimension de Im(f ) ? f est-elle surjective ? (b) D´terminer Im(f ). (On

Correction 2 – E1 : non si a = 0 car alors 0 ∈ E1 ; oui, si a = 0 car alors E1 est l’intersection des sous-espaces vectoriels {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0} et {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0}. – E2 est un sous-espace vectoriel de F(R, R). – E3 : non, car la fonction nulle n’appartient pas ? E3 . – E4 : non car le polynˆme nul n’appartient pas ? E4 . o – E5 : non, en fait E5 n’est mˆme pas un sous-groupe de (R2 , +) car (2, 0) ∈ E5 mais −(2, 0) = e (−2, 0) ∈ E5 . / 1 

neutre : o+u=u Multiplication par un réel : δxv=δv Base et repère de G espace vectoriel Base de G On appelle famille générative un ensemble de vecteur tel que tout élément de l’espace vectoriel, puisse s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de ces vecteurs. V=δ1v1+δ2v2+δ3v3 Si (v1, v2, v3) sont orthogonaux deux à deux et == → Base orthonormée Repère de G So on particularise un point O de G pour ne considérer que des bipoints ayant que ce point O pour origine alors n’importe quel

Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈

nuage de points (S ;N) 2. Donner la valeur décimale arrondie à [pic] près du coefficient de corrélation affine de la série double (S, N) 3. En acceptant 0,75 comme limite inférieure pour accepter un modèle affine, peut-on envisager un ajustement linéaire de S en N ? 4. Donner une équation de la droite de régression de N en S par la méthode des moindres carrés. (précision [pic]). Recopier la valeur de r2. avec toutes les décimales affichées et mémorisez le coefficient directeur. (par exemple dans