Fonction polynôme

M 1 M SUITE OPERATEUR LOGIQUE Un opérateur logique permet de réaliser avec des variables binaires des opérations logiques, dont le résultat ne peut s ’exprimer que par deux états : FAU X VRAI 0 1 l ’opération logique réalisée s’appelle : LA FONCTION LOGIQUE SUITE SYMBOL E e 1 RETOUR 1 S SUITE SYMBOL E Entrée 1 RETOUR e 1 1 S Sortie S SUITE SYMBOLE e1 1 EQUATION S S= e1 SCHEMA ELECTRIQUE P RETOUR e 1 S TABLE DE VERITE N e1 S 0 0 1 1 SUITE EQUATION L’EQUATION SIGNIFIE

l’université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 200809, 2009-10 et 2010-11. Le contenu de ce polycopié est exactement ce que j’ai traité devant les étudiants. Pour aller plus loin dans la théorie des fonction holomorphes d’une variable complexe, le lecteur pourra consulter les ouvrages cités dans le bibliographie. Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d’exercices distribuées par A. Yger au cours de l’année universitaire 2010-2011.

de l’expression : 5x + 7 2) Dresser le tableau de signe de l’expression : 3) Dresser le tableau de signe de l’expression : Exercice 3 Soit f la fonction définie par f(x) = 1) Vérifier que f(x) = - (x + 2)(x – 4) et que f(x) = 2) Dresser, en justifiant, le tableau des variations de la fonction f. 3) Résoudre, sans utiliser les formules de résolution d’une équation du second degré, l’équation f(x) = 0 4) Résoudre, sans utiliser les formules de

continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer les limites

ANNEXE I TRANSFORMEE DE LAPLACE Pierre-Simon Laplace, mathématicien français (1749-1827). Laplace entra à l’université de Caen a 16 ans. Très vite il s’intéressa aux mathématiques et fut remarqué par d’Alembert. En analyse, il introduisit la fonction potentielle et les coefficients de Laplace. Il travailla également beaucoup sur les équations aux différences et sur les équations différentielles. Contrairement aux apparences, l’utilisation de la transformée de Laplace pour la résolution d’équations

PROBLEME Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0. On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm). Partie 1 1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C). 2. Pour x > 0, calculer [pic]. Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0) Que peut-on en déduire pour la fonction f ? Que peut-on

algébrique, nature et allure de la courbe représentative de la| |maximum ou le minimum d’une fonction polynôme du second degré et |fonction : | |conjecturer son sens de variation sur un intervalle. |[pic] | A. Création de la courbe de la fonction f(x) = ax2 + b x + c à l’aide des fonctionnalités du logiciel « GEOGEBRA »

1 17 17 17 17 17 2.2 2.1.4 Exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Variante : le chirement El Gamal . . . . . 2.1.6 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes de signature . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Fonction de hachage . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Signature El Gamal-Schnorr . . . . . . . . . 2.2.3 Système DSA (Digital Signature Algorithm ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

obtenues. Déterminer le cardinal de l’univers de l’expérience aléatoire. Calculer la probabilité de l’événement . 2/ On considère X la variable aléatoire égale à ce plus grand chiffre. Déterminer , la loi de X, son espérance et sa variance. Tracer la fonction de répartition de X. Exercice 7 On réalise une expérience dont la probabilité de réussite est de 0,7. On répète 10 fois l’expérience successivement. Quelle est la loi suivie par X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de fois où l’expérience

de fonctions : Exemples I) Rappels- Exemples: f désigne une fonction définie au moins sur un intervalle I de . - Pour étudier le sens de variation de f , il suffit de pouvoir étudier le signe de la dérivée f ’(x) pour établir le sens de variation de f sur I . - Rappelons que f ’(x) désigne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x. Ainsi, 1) Du signe de la dérivée au sens de variation Propriétés (admises) Soit f une fonction dérivable