Forme normale

longueur est comprise entreL-ΔL et L+ΔL (2ΔL est l'intervalle de tolérance). Le processus de production, lui, produit des pièces dont la longueur varie, la longueur moyenne est L, et avec un écart type σ (on suppose que cette longueur suit une loi normale). En général, le processus est réglé afin que l'on ait σ = ΔL/3 ; on écrit en général plutôt ΔL = 3×σ, mais c'est bien ΔL qui est une contrainte (la pièce est utilisable ou non) et σ qui est ajusté (les machines sont plus ou moins bien réglées)

= C 0 0 ,025 0 × 0 ,975 12 + C 1 0 ,025 1 × 0 ,975 11 = 0,975 12 + 12 x 0,025 x 0,975 11 12 12 P(E) ≈ 0,737998 +0,227076 ≈ 0,97 (ou 0,96) P(E) ≈ 0,97 C – Loi normale X1 variable aléatoire, qui à toute semaine prise au hasard dans une année, associe la demande en kg d’engrais de type C1. X1 suit N (160 ; 32) X − 160 , T1 suit la loi normale centrée réduite N(0 ; 1) X1 = 32T1 + 160 On pose T1 = 32 P(X1 < 200) = P(32T1 + 160 < 200) = P(32T1 < 40) = P(T1 < 1,25) = Π(1,25) ≈ 0,8944 P(X1 < 200) ≈ 0,8944

Responsable de la matière : Adil ELMARHOUM Traiter les trois exercices suivants : (Documents non autorisés) Exercice 1 On admet que la variable aléatoire X qui prend comme valeurs les résultats de la pesée d'un même objet donné suit une loi normale de moyenne et d'écart type inconnus. On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet : masse en grammes 72,20 72,24 72,26 72,30 72,36 72,39 72,42 72,48 72,50 72,54 1) Calculer la moyenne et l'écart type de cet échantillon

1. Justification de la m´ethode des moindres carr´es Th´eor`eme 1.1. Lorsque les erreurs de mesure suivent une loi normale, pour qu’un ensemble de valeurs observ´ees (y1, y2, . . . , yn) d’une fonction `a d´eterminer y = '(x) soit le plus probable, il faut choisir cette fonction de telle sorte que la somme des carr´es des ´ecarts des valeurs observ´ees par rapport `a '(x) soit minimale, autrement dit que sa diff´erentielle soit nulle : d Xn i=1 [yi − '(xi)]2 = 0 D´emonstration. Soit y

écart-type  En déduire la probabilité de la distribution normale P = f(μ) par Excel : « LOI.NORMALE.STANDARD (valeur Z) »  Calculer la différence entre la fréquence cumulée et la probabilité espérée : P - N’(Xi) et définir le plus grand écart en valeur absolue.  Comparer cet écart avec les valeurs tabulées de Miller-Owen. H0 : Ecart ≤ M-O H1 : Ecart > M-O  loi normale correcte : non significatif  ne colle pas à la distribution normale : significatif Le problème qui se pose dans notre cas

EXERCICE CORRIGE Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251 255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une

TP 6 : Océanisation et mise en place des marges passives. Objectif technique : somme vectorielle Objectif méthodologique : cartes bathymétrique, sismotectonique, géologique Objectif cognitif : faille normale, rift Rappels : Schéma 1. amincissement de la croûte océanique lié à l’extension. 2. remontée des isothermes lié à la remontée de l’asthénosphère 3. production de magma basaltique. Pourquoi la dorsale est un lieu de production de magma basaltique ? L’axe

chemin critique et son nombre de jours. Partie 2 La production de Pouëtpouët est contrôlée en fin de chaîne de montage (prélèvement d’échantillons). Lorsque les ateliers de fabrication fonctionnent bien, la masse de ce produit fini suit une loi normale de moyenne 2,5 kg et d’écart-type 0,054 kg. Suite aux récents changements organisationnels effectués, vous craignez une perte de qualité du produit qui se traduirait par une modification de sa masse. Question 3 : vous prélevez 20 produits que vous

parmi les 10 tubes, un tube au moins présente un défaut. 2. On prélève 300 tubes dans la production. On décide d’approcher la variable aléatoire donnant le nombre de tubes défectueux dans le prélèvement par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 9 et d’écart type 3. a) Déterminer la probabilité que le prélèvement contienne entre 6 et 12 tubes défectueux. b) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de tubes défectueux pour un échantillon

probabilité de N sera-t-elle mal approchée par une loi de Poisson ? E(N) ≠ V(N) ce qui interdit que la loi de N soit une loi de Poisson de P1son on aurait E(X) = V(X) 5°) Calculer P(N ≤ 50) (pour ce calcul, utiliser l’approximation par une loi normale dont on indiquera les paramètres ; détaillez les calculs) n grand, avec np et n(1-p) supérieurs à 15 alors B(100 ; 0.45) est approchée par N(45 ; √24.75 ) et P(N ≤ 50) ≈ P( Y < 50+0,5) où Y suit N(45 ; 5 ) alors P(N ≤ 50) ≈ P( Y < 50+0,5) = P(Y94)