Formule du binôme de Newton

: 1. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2 b + 3ab2 = b3 . 2. (x − 1)4 = (x − 1)2 (x − 1)2 = (x2 − 2x + 1)(x2 − 2x + 1) = . . . = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1. Remarque : il existe une formule générale pour développer les expressions du type (a+b)n appelé binôme de Newton, qui fait notamment intervenir les coefficients binomiaux. Exemples : 1. (x + 5)2 = x2 + 10x + 25, 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 . 2 2 2 2. (4x − y) = 16x − 8xy + y , x2 − 14x + 49 = (x − 7)2 . 3. (2 − 3x)(2 +

: 1. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 ) = a3 + 3a2 b + 3ab2 = b3 . 2. (x − 1)4 = (x − 1)2 (x − 1)2 = (x2 − 2x + 1)(x2 − 2x + 1) = . . . = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1. Remarque : il existe une formule générale pour développer les expressions du type (a+b)n appelé binôme de Newton, qui fait notamment intervenir les coefficients binomiaux. 0.2 Manipulation des puissances La puissance (ou l’exposant) est une notation. Ainsi, si a est un nombre et n un entier, a est le produit de a par

les cardinaux de certains ensembles, utiliser un diagramme, un tableau, un arbre. http://xmaths.free.fr/ • 1/2 n = 1 0 n =  n   p   n-p  n = 1 n n = n  n =n 1  n-1   n  +  n  = n+1  p-1   p   p  Formule du binôme de Newton, valable pour a et b réels ou complexes : p=n n  n 0  n  n-1 1  n  n-p p n 0 n  n an-p bp  0 a b +  1 a b + ⋯ +  p a b + ⋯ +  n a b = p∑   =0 p (a + b)n =  Cas particulier pour a = b = 1 p=n  n  +  n  + ⋯ + 

Mathématiques f_boukhari@yahoo.fr Faculté des Sciences BP 119 Tlemcen c ⃝Boukhari.F " Comme un aveugle n’a aucune idée des couleurs, de même nous n’avons aucune idée de la manière dont Dieu infiniment sage perçoit et comprend toutes choses." Isaac Newton. Table des matières Introduction 1 1 Analyse combinatoire 5 1.1 Rappels et Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Eléments d’analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Exercices . . . .

souhaite, au sens propre, leur donner le dernier mot : merci. Merci à Eric d’Engenières, éditeur chez Dunod, qui m’a accordé sa confiance, a su m’encourager par la qualité de nos échanges et a pu me guider par des conseils et suggestions toujours formulés de manière chaleureuse. Merci à Hervé Coilland, directeur de l’I.U.T Nancy-Charlemagne et Vice-Président de l’Université Nancy 2 qui a toujours trouvé le temps pour des discussions amicales au cours desquelles se précisent les objectifs, s’échangent

Équations polynomiales 4.1 Résolution des équations du premier degré . . . . . . . . . 4.2 La propriété du produit dans les nombres réels . . . . . . . 4.3 Résolution des équations du deuxième degré . . . . . . . . 4.3.1 Deux méthodes de résolution et la formule de Viète 4.3.2 Les équations du deuxième degré camouflées . . . . 4.4 Résolution des équations de degré supérieur à 2 . . . . . . 4.5 Systèmes d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . 5 Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré

IV-A - Le triangle de Pascal Le triangle de Pascal est le tableau des coefficients qui sont utilisés pour le développement de certaines expressions comme (a+b)² ou (a+b)n. Cela s'appelle la "formule du binôme de Newton". Les coefficients s'appellent les "coefficients binomiaux" ou "coefficients du binôme". Ce triangle est le suivant : 0:1 (a+b)0 = 1 1:11 (a+b)1 = 1*a + 1*b 2:121 (a+b)2 = 1*a2 + 2*a*b + 1*b2 3 : 1 3 3 1 (a+b)3 = 1*a3 + 3*a²*b + 3*a*b² + 1*b3 4 : 1 4 6 4 1 (a+b)4 = 1*a4

sin(θ1 )] ; r2 r1 [cos(θ2 − θ1 ) + i sin(θ2 − θ1 )] . Remarque 1.4 La formule (2) donnant le produit de deux nombres complexes en forme trigonométrique ci-dessus s’obtient à l’aide des formules d’addition du cosinus et sinus suivantes cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b , pour tout a et b dans R. Si z = r(cos θ + i sin θ) ∈ C∗ , les formules précédentes nous donnent la formule de Moivre z n = (r(cos θ + i sin θ))n = rn (cos(nθ) + i sin(nθ)), ∀ n ∈

d’une bibliothèque pour en tirer quelques ouvrages accessibles et intéressants ; – savoir utiliser le sommaire d’un livre ; – savoir extraire d’un article l’information intéressante; – savoir décrypter texte, schémas et illustrations d’un article ; – formuler une requête efficace dans un moteur de recherche approprié, et savoir distinguer des réponses pouvant présenter un intérêt pour l’investigation. En fait, ces compétences s’établissent progressivement et se renforceront au cours de la scolarité, dans

Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés Michel Semon Cours d’appui - www.phymaths.ch 1 TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Introduction 5 2 Notations 2.1 Formules d’analyse combinatoire . . . . . 2.1.1 Permutations et arrangements . . 2.1.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . 2.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Probabilités conditionnelles et tota 2.2.2 Inclusion-exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . .