Formule du binôme de Newton

entier naturel k, la dérivée d’ordre k des fonctions g et h sur leurs ensembles de définitions respectifs. e2x 2. On pose f (x) = . 1+x En utilisant la formule de Leibniz, concernant la dérivée nème d’un produit de fonctions, déterminer, pour tout entier naturel n et pour x ∈ R\ {−1}, la valeur de f n (x). 3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz, utilisée dans la question précédente. 1. On pose g(x) = e2x et h(x) = Corrigé exercice 3 1. g est de classe C ∞ sur R et h est de classe

D'autre part, vous aurez beau diviser et subdiviser 8 9 THÈSES SUR LE MOUVEMENT L'IMAGE-MOUVEMENT le temps, le mouvement se fera toujours dans un durée concrète, chaque mouvement aura donc sa prol?re dur~e qualitative. On oppose dès lors deux formules uréducu?le : « mouvement réel ~ durée concrète », et « coupes unmobiles + temps abstrait ». . En 1907 dans L'évolution créatrice, Bergson baptise la mauvaise f~rmule : c'est l'illusion cinématographique. Le cinéma en effet procède avec deux données

choc, les particules venant du haut auront en moyenne plus d’énergie que celles venant du bas. Il y aura donc, en continu, transport d’énergie du haut vers la bas. La plaque supérieure, via le gaz, chauffera la plaque inférieure. La loi de Fourier–Newton indique que dans ces circonstances, le flux de chaleur par unité de temps est proportionnel à la différence de température, soit ici, j = −λt/h , (2. 42) et plus généralement j = −λ∇t, un vecteur de flux de puissance calorique pointant des régions

Testez-vous Exercices 2. Indices statistiques I. Indices élémentaires A. Définition 47 B. Propriétés 48 39 41 47 47 TABLE DES MATIÈRES • III II. Indices synthétiques A. Indices synthétiques de Laspeyres et Paasche : premières formules B. Formules développées C. Comparaison des indices de Laspeyres et de Paasche D. Indice de Fisher E. Propriétés des indices de Fisher, Laspeyres et Paasche F. Utilisation de ces trois indices Indices-chaînes 56 A. Raccord d’indices B. Les indices-chaînes

SOMMAIRE 7.5.3 Empilement : écriture de limite . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.4 Empilement : commande \stackrel . . . . . . . . . . . . . 7.6 Mise en valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Encadrement d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Gras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.1 Avec \boldmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.2 Avec \mathversion . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2.3 Avec

4) 3 est un monôme dit monôme constant. Définition 3.2. allo le monde Un polynôme est une somme ou différence de monômes. • Si le polynôme est la somme de deux monômes, on l’appelle binôme. • Si le polynôme est la somme de trois monômes, on l’appelle trinôme. Exemple 3.2. Voici quelques exemples : 1) 3x2 + y est un binôme. On dit que 3 est le coefficient de x2 et 1 le coefficient de y. 1.3. Les polynômes 2) 3xy 9 z + 8ab + 4 est un trinôme. On appelle 4 le terme constant. 15 4) 2x − 4xy −10 n’est

une première validation d’une relation entre grandeurs physiques : les dimensions de la partie gauche et de la partie droite de la relation doivent être identiques. Déterminons par exemple la dimension d’une énergie ou d’un travail, à partir de la formule w = f.l (un travail est le produit d’une force par une longueur). Une force est le produit d’une masse par une accélération (f = m.γ ) et une accélération est une longueur divisée par le carré d’un temps. Donc [w] = [f][l] = [m][l]t -2][l] = ML2T-2

dans R une borne supérieure. Dé…nition 1.1.3 L’ ensemble R muni des opérations internes + et véri…ant les axiomes (1) (10) et pour lequel la relation d’ ordre est totale est appelé ensemble des nombres réels. Propriété 1.1.2 D’ après les axiomes formulés ci-dessus, on déduit les propriétés suivantes : 1. dans R, les éléments neutres 0 et 1 sont uniques ; 2. tout élément x 2 R admet un opposé unique, et si x 6= 0 alors sont inverse x 1 , 1 qu’ note aussi par , est unique ; on x 3. l’ équation x+a

une passion de polémique qui incline à prêter une valeur irréductible aux interprétations opposées, une passion de conciliation qui empêche toujours de définir rigoureusement. Il n’est g uère facile, dans le détail des cas, de distinguer dans les formules orthodoxes l’aspect original des idées. Il faudrait un bonheur constant de divination pour restituer dans leur pureté les « théories » et se mettre ainsi en mesure de définir idéologiquement leurs relations. Quelle chance y a-t-il de reconstituer

∗ Les seuls éléments inversibles de Z sont 1 et −1, ce qui fait que Z est le groupe {1, −1} à deux éléments. multiplicatif Proposition 0.17 (Formule du binôme de Newton) a et b deux éléments de A, et soit n ≥ 1 un entier, on a n Soit A un anneau commutatif. Soit (N) (a + b)n = k=0 n Ck ak bn−k . Preuve : Pour n = 1, la formule (N ) se réduit à a + b = a + b. Supposons-la vériée pour un et montrons que cela implique qu'elle l'est pour l'entier n+1 n n repose sur l'égalité