Formule intégrale de Cauchy

OBJECTIFS Permettre à l’étudiante ou à l'étudiant : • d'approfondir et de maintenir à jour ses connaissances dans un champ de spécialisation de l'informatique, de la bio-informatique ou de l'imagerie et des médias numériques; • de comprendre et de formuler de façon autonome des problématiques issues de situations ou de connaissances relatives à son domaine; • d'acquérir une formation de chercheuse ou de chercheur; • de devenir apte à assumer, d'une façon autonome, la responsabilité d'activités

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Systèmes à retard 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Classes d’équations differentielles fonctionnelles . 6.3 Le problème de Cauchy pour les EDR . . . . . . 6.4 Méthode pas à pas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Stabilité des systèmes retardés . . . . . . . . . . 6.6 Cas des systèmes de type neutre . . . . . . . . . 6.7 Modèles pour les systèmes linéaires stationnaires 6

( t, x ) x ( t ) = x(1.3)on dit aussi problème de Cauchy :> 0 0Remarque 1.2. Pour tout ( t 0 , x 0) ∈ U , le problème ( 1.3 ) est équivalent à l’équation intégrale : ( Z ( ) = + ( ( ))d ) tx t x 0 t 0 f s, x s sRemarque

aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . 1.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Probabilité conditionnelle à un événement . . . . . . . 1.2.2 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Indépendance de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

résultats exacts auquels elles conduisent sont trop compliqués pour être utilisables. Le passage à l’infini est le passage de l’algèbre à l’analyse, donc à des approximations maniables et à de puissantes techniques issues du calcul différentiel et intégral. Quant au fait que dans ce passage à l’infini, on se limite à une infinité dénombrable d’évènements, c’est un point technique qu’on ne justifiera que dans un cours de 3 ème année d’université. Rappelons qu’un ensemble E avec une infinité d’éléments est

puissances généralisées sont également utilisées afin d’obtenir le développement en série de Taylor des fonctions réelles analytiques. En considérant le principe d’alternance apparaissant dans ces puissances géné- ralisées, des dérivées ainsi que des intégrales généralisées dépendantes de f sont introduites. Ces nouveaux concepts sont finalement utilisés afin de revisiter certains résultats classiques des mathématiques. En autres, de nouveaux résultats qui gé- néralisent le binôme de Newton ainsi que certaines

centrée réduite est appelée loi normale standard12. Définition par la fonction de densité Courbe de Gauss Fonction de densité de la loi normale centrée réduite (dite courbe de Gauss ou courbe en cloche). Articles détaillés : Fonction gaussienne et Intégrale de Gauss. La loi normale centrée réduite est la loi de probabilité absolument continue dont la densité de probabilité est donnée par la fonction \scriptstyle\varphi : \R \to \R_+ définie par13 : \varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\;\pi}}\;\; \mathrm{e}^{-\frac

. . . . . . . . . . . . 9 Conditionnement et indépendance 9.1 Espaces probabilisés . . . . . . . 9.2 Conditionnement et indépendance 9.3 Probabilités totales . . . . . . . . 9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . 10 Intégration 10.1 Intégrale d’une fonction continue 10.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . 10.3 Calcul d’intégrales . . . . . . . . 10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x Montrer que f est périodique. Exercice 12 [ 01967 ] [correction] Soit f : [a, b] → R continue. Montrer que b a Calcul d’intégrales Exercice 6 [ 01964 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : 2 dt 1 dt 1/2 dt a) 1 t2 b) 0 1+t2 c) 0 √1−t2 . Exercice 7 [ 00284 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : 2π 2 1 t a) 0 cos2 t dtb) 1 ln t dtc) 0 √1+t2 dt f (t) dt = b a |f (t)| dt si, et seulement si, f 0 ou f 0. Exercice 13 X MP [ 03051 ] [correction] Soient (a

d d f (u) ⇔ lim (f (a) − 0) = f (u). t→∞ dx dx Soit f (a) = (ex )1/n . lim f (a) − = = t→∞ Ceci donne : (ex )1/n = On conclut : ex = f (u)n . d d f (u) ⇔ ex = f (u)n ⇒ dx dx ex = d f (u)n . dx 1.4 En fait j’en ai d’autres – Une formule minable : 2aboqphie = 2qbc (Deux abbés occupés à chier sur 2πr 2 deux pierres carrées égalent 2 culs baissés). – Et que dit 0 en rencontant 8 ? Réponse : Belle ceinture ! – Et puisqu’il est toujours question de 8, que vaut 8 divisé par 2 ? Réponse