Implication réciproque

professeur revient sur le bilan de la séance précédente après avoir vu les travaux de chaque élève et repéré certains: 17 b) Démonstration : 17 c) Formulation des résultats : Les élèves ont du mal à le dire avec des phrases. 19 d) Réciproque : Le professeur conduit la démonstration en classe entière. 19 e) Vers un autre théorème où a désigne une des trois mesures, pas nécessairement la plus grande. 19 V. Somme des angles d’un triangle : 20 VI. En quatrième, le théorème de Thalès

11, 2 CA = 2, 25cm. A B C D G E F 2. Dans le triangle FCG, le point D est sur le segment [FC] et le point E est sur le segment [FG]. De plus, 6, 3 FD = = 0, 75, FC 8, 4 et 8, 4 FE = = 0, 75. FG 11, 2 Donc, FD FE = . D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (GC) et (ED) sont parallèles. FC FG (GC)//(ED). Exercice 2 : (4,5 points) 1. Voir figure page suivante. 2. Dans le triangle ABC rectangle en C, on a tan BAC = BC et donc AC BC = tan BAC ×

figure (non en vraie grandeur…) 2. On sait que : Dans le triangle ABC, [AB] est le côté le plus long. On calcule : [pic] [pic] On constate que [pic] Donc : D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 3. On sait que : - le triangle AED est inscrit dans le cercle C - [AD] est un diamètre du cercle C D’après la propriété :

Activités GéométriquesEXERCICE 11. Dans le triangle AMP, le plus long côté est [AP]. On a : AM² + MP² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 et AP² = 5² = 25 Donc AM² + MP² = AP². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMP est rectangle en M. 2. a) Montrons que les droites (FT) et (MP) sont parallèles : (FT) est la tangente en F au cercle A, donc les droites (FT) et (FM) sont perpendiculaires. Le triangle AMP est rectangle en M donc les droites (FM) et (MP) sont perpendiculaires. Or, si deux

AM 3 3 3 III) La réciproque du Théorème de Thalès Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès, il nous faut aussi être dans la configuration de Thalès. La différence avec le théorème est que l’on ne sait pas si les droites sont parallèles, car c’est ce que l’on cherche à montrer. Cas 1 Cas 2 Dans le triangle ABC, M e [AB] et N e [AC]. 2 = 2=1 De plus, on a : AM = AB 6+2 8 4 Et AN = 3 = 3 = 1 AC 3 + 9 12 4 D’où AM = AN AB AC Donc par la réciproque du théorème de Thalès,

triangle rectangle. Donc : 3) Démontrons que les droites (HK) et (EG) sont parallèles = = = et = donc = De plus les points F, H, G et F, K, E sont dans le même ordre Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès Exercice 2 1. Calculons BI Les droites (AB) et (IF) sont sécantes en S et les droites (BI) et (KA) sont parallèles D’après le théorème de Thalès : = donc = d’où : BI = [pic] donc

segment x A + xB   xI =  2 I milieu de [AB ] : I   y = y A + yB  I 2  5.4. Thalès Théorème de Thalès  A' B ' = k AB  (AA') et (BB') se coupent en    si  alors   et k ≠ 1   et IA' = k IA et IB ' = k IB    I     Réciproque du théorème de Thalès  IA' = k IA    si alors A' B' = k AB et IB' = k IB    { } i Les pointillés (…) signifient qu’il existe plusieurs autres équations. © Chabert novembre 2012 

1 : Déterminer une primitive F de la fonction ¦ définie, sur , par : ¦(x) = 3 x 3 - 4 x 2 + 7x - 1 SOLUTION : F(x) = 3 ´ x4 x3 x2 3 4 4 3 7 2 x x + x -x+c -4´ +7´ -x+c= 4 4 3 2 2 3 Cas des fonctions usuelles Une lecture "réciproque" des formules de dérivation des fonctions usuelles est suffisante pour déterminer une primitive. Rappelons ces formules : ¢ 1 æ 1ö ç ÷ =- 2 è xø x ( x )' = (ln x)' = (Condition : x ¹ 0) 1 (Condition : x > 0) ( e x )' = e x

donc le triangle IAB est rectangle en A. 2. Les droites (BC) et (AD) sont sécantes en I. Les points A, I, D et B, I, C sont alignés dans le même ordre. AI 8 5 IB 10 5 = = = = et ID 11,2 7 IC 14 7 AI IB = Donc . ID IC D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 3. (AB) est perpendiculaire à (AD) et (AB) est parallèle à (CD). Or, si deux droites sont parallèles et que l'une est perpendiculaire à une troisième, alors l'autre l'est aussi

SB ² = 225 + 64 SB ² = 289 SB = SB = 17 Conclusion: SB = 17 cm 3. On a Sachant que les droites (EA) et (FB) sont sécantes en S, les points S,E,A et les points S, F, B sont alignés dans le même ordre, comme , alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles. 4. a) Calcul du coefficient de réduction Soit k le coefficient de réduction, on a : Conclusion : Le coefficient de réduction est. b) Calcul du volume V 2 de la pyramide