Inégalité de Cauchy-Schwarz

Z et X indépendantes. La loi de la variable T = √ Z est X/n appelée loi de Student à n degrés de liberté et on note T ∼ Tn . Figure 1.5 – Densité d’une T10 (trait gras) et densité d’une N (0, 1) (trait fin). Lorsque n = 1, T suit une loi de Cauchy et n’a donc pas d’espérance (ni, a fortiori, de variance). n Pour n = 2, T est centrée mais de variance infinie. Pour n ≥ 3, T est centrée et de variance n−2 . Arnaud Guyader - Rennes 2 Régression 1.4. Cas d’erreurs gaussiennes 13 D’autre

cov(Y, X) 2. cov(X, X) = var(X) 3. ∀a, b, c et d ∈ ‫ ޒ‬: cov ( aX + b, cY + d ) = ac ⋅ cov ( X , Y ) ⇒ var ( aX + bY + c ) = a 2 var ( X ) + b 2 var ( Y ) + 2ab ⋅ cov ( X , Y ) 4. cov ( X , Y ) ≤ var ( X ) ⋅ var ( Y ) , cette inégalité est une conséquence de l’inégalité de Schwarz. On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le rapport : ( X , Y )----------------------ρ = cov σ X ⋅ σY Des propriétés de la covariance, on déduit que le coefficient de corrélation linéaire est invariant par

Statistique exhaustive Information de Fisher 13 • Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et

d’extrema définition : on dit qu’une fonction f admet un maximum en un point x0 si pour tout x, f (x) ≤ f (x0 ), et un minimum si pour tout x, f (x) ≥ f (x0 ). On appelle extremum de f une valeur qui est soit un minimum, soit un maximum. Si les inégalités ci-dessus sont strictes pour x = x0 , on parle de maximum, minimum ou extremum strict. 1 x exp(x) En toute rigueur, un extremum de f est une valeur f (x0 ), et il est réalisé pour x = x0 . Mais l’abus de langage qui consiste à confondre

avec Z et X indépendantes. La loi de la variable T = √ Z est X/n appelée loi de Student à n degrés de liberté et on note T ∼ Tn . Figure 1.5 – Densité d’une T10 (trait gras) et densité d’une N (0, 1) (trait fin). Lorsque n = 1, T suit une loi de Cauchy et n’a donc pas d’espérance (ni, a fortiori, de variance). n . Pour n = 2, T est centrée mais de variance infinie. Pour n ≥ 3, T est centrée et de variance n−2 Arnaud Guyader - Rennes 2 Régression 1.4. Cas d’erreurs gaussiennes 13 D’autre part

44 2.3.5.3 Additivité ............................................. 45 2.3.504 Loi de U2 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 45 La loi log-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Loi de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Loi de Weibull. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Loi de Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 14.12Approche par équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . 14.13Approche par équations aux dérivées partielles: frontière libre . . . . . 14.14Approche par équations aux dérivées partielles: inégalité variationnelle 14.15Une solution analytique dans le cas du put américain . . . . . . . . . . 14.16Approximation de la forme de la frontière d’exercice . . . . . . . . . . . 14.17Utilisation des méthodes de simulations . . . . . . . . . . . . . .

'l'algorithme d'apprentissage du perceptron' a été proposé et sa validité a été établie par une preuve élégante que l'on trouvera dans la plupart des livres sur le sujet. Cette preuve, que nous rappelons ici, se base essentiellement sur l'inégalité de CAUCHY-SCHWARZ qui fournit une majoration classique du produit scalaire. _____________________________________________ (*) Cette section est tirée de l'article "A new geometric proof of the convergence of the perceptron algorithm", par HOANG et TREMOLIERES

homogénéité. Université Aix-Marseille 1 PEIP-L1, 27 avril 2010 , 8 Algèbre linéaire, Maths générales II 1.2. La notion de matrice 1. Algèbre linéaire dans R2 et R3 On rappelle enfin deux inégalités absolument fondamentales : pour tous vecteurs u et v de R2 ou R3 , Inégalité de Cauchy-Schwarz : Inégalité triangulaire : |u · v| ≤ u · v u+v ≤ u + v 1.1.3 Exercices Tous les exercices de cette section sont tirés de ou inspirés par quelques uns des nombreux exercices du livre de G. Strang dont