Inégalité de Cauchy-Schwarz

ces relations sont parfaitement justifiées au point de vue mathématique2. En raison des connotations philosophiques du terme de "principe", aujourd'hui, les physiciens parlent davantage des relations d'incertitude, ou des inégalités de Heisenberg, car il s'agit d'une inégalité portant sur des grandeurs physiques non-commutatives. Les relations de Heisenberg[modifier | modifier le code] Considérons une particule massive non relativiste se déplaçant sur un axe. Description classique[modifier |

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 45 49 50 52 53 53 CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2. Résolution C ∞ des équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3. Le Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.1

dérivée : sinh( 2(cos(kπ) − 1) cos(kπy) bk : y → k2π2 kπ(1−x) ) n + sinh( kπx ) n kπ sinh( n ) . En mimant le travail eectué lors de la preuve de la convergence de la série des ak , on a clairement les inégalités : 8 8 bk ≤ 3 3 et bk ≤ 2 2 (8) k π k π La première inégalité prouve la convergence simple de la série des bk sur I car k38 3 est un π terme général de série convergente. Fixons maintenant a, b tels que 0 < a < b < 1. On cherche à montrer la convergence uniforme de uk sur [a,

Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . II.3 Formule de Taylor et règle de L’Hospital . . . . . . II.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5 Applications des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . II.6 Dérivabilité forte et dérivabilité au sens de Schwarz III iv Suites et séries de fonctions

fonctions sont aussi présentes au chapitre I, par exemple, et encore plus aux chapitres VI et X, où leur utilité dans l’étude des algèbres de Banach est illustrée dans de nombreux exercices, en collaboration avec le théorème de Hahn-Banach : formule de Cauchy vectorielle, séries de Laurent et formule du rayon spectral, théorèmes de Runge et Liouville, etc. 5. Propriétés isométriques : Une propriété frappante de ces isométries est dégagée au chapitre I : la structure métrique d’un espace vectoriel normé

coordonnées paramétriques et polaires Intégrale de Riemann et équations différentielles - Intégrale au sens de Riemann. Méthodes d’intégration et calcul des primitives, intégration des fractions rationnelles. - Fonction définie par une intégrale. Inégalité de Schwarz – Minkowski. Formule de la moyenne. - Equations différentielles à variables séparées. Equations différentielles du premier ordre et équations différentielles du second ordre à coefficients constants. Module 3: Physique 1 Elément Contenu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 3 Equations différentielles 3.1 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equations différentielles du premier ordre . . 3.1.2 Solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . 3.2 Equations différentielles linéaires du premier ordre . 3.2.1 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Equation avec second membre

point. Soit x0 ∈]a, b[. Comme f ′ (x0 ) > 0, on a : x→x0 lim f (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 ) > 0. x − x0 Donc, il existe α > 0, avec x0 + α ≤ b, tel que pour tout x ∈]x0 , x0 + α [, f (x) − f (x0 ) ≥ 0. Soit E l’ensemble des x tels que cette inégalité ait lieu. Cet ensemble est non vide et majoré par b. Il admet donc une borne supérieure s. Montrons par l’absurde que f (s) ≥ f (x0 ) : § 1.10. Corrigé des exercices sur le Chapitre 1 9 en effet sinon on aurait f (s) < f (x0 ) et par continuité

fonctions continues par morceaux sur [a, b], à valeurs réelles : – si f est positive ou nulle sur [a, b], alors – si f g sur [a, b], alors [a,b] f [a,b] [a,b] f 0 (positivité de l’intégrale). g (croissance de l’intégrale). Proposition 20.3.5 (inégalité de la moyenne) Soit f : [a, b] → K, continue par morceaux. Alors [a,b] f [a,b] |f | (b − a) sup |f (x)|. [a,b] Définition 20.3.1 (valeur moyenne d’une fonction) 1 Soit f dans Cm ([a, b], K). La quantité f est appelée valeur moyenne de f sur

que g v´rifie g(1) = 0. Etudier la suite (In ) d´finie par In = n e e 1 n 0 t g(t)dt. 3. On suppose maintenant que g est de classe C 1 et v´rifie g(1) = g (1) = 0. Etudier la suite e 1 (Jn ) d´finie par : Jn = n2 0 tn g(t)dt. e ´ ´ Inegalite de Cauchy-Schwarz Exercice 23 - Norme deux d’une fonction et de sa d´riv´e - L2/Math Sup e e Soit f : [a, b] → R de classe C 1 telle que f (a) = 0. http://www.bibmath.net 4 ´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e 1. Prouver que, pour