Inégalité de Cauchy-Schwarz

cela signifie que : ∀x ∈ E, λx = |λ|. x . ∀λ ∈ R, (Inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire) Soient E un espace préhilbertien réel et x, y, z ∈ E. ¬ ¬ ¬ ¬ x . y . (i) Inégalité de Cauchy-Schwarz : ¬(x|y)¬ Cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont colinéaires. Version norme : x+y x + y . (ii) Inégalité triangulaire : Version distance : d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont colinéaires

Inégalités : petit recueil Thibaut Allemand 6 mars 2007 L'analyse, ce n'est que des inégalités... Table des matières 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Inégalités pour les enfants Inégalité de Young . . . . . . . . . Quelques inégalités logarithmiques Théorème des accroissements nis Inégalité de Taylor-Lagrange . . . Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

avoir calculé les sommes correspondantes : ai,j = 1 ai j = j = i j i+j ij 1 i, j n ai 1 i j n 3. : (a) Calculer n min (i, j) . 1 i,j n n (b) En déduire la valeur de n max (i, j) , puis celle de 1 i,j n 1 i,j n |i − j| . 4. * Inégalité de Tchebychev : (a) Montrer que n 1 i<j n (b) En déduire que si a1 a2 ... (aj − ai ) (bj − bi ) = n an et b1 b2 ... n ak bk k=1 n ak − k=1 bk k=1 bn n i=1 ai n i=1 bi n n i=1 ai bi n n (autrement dit, lorsque deux séries de n

est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que x− a+b < x−a 2 Exercice 3 [ 01105 ] [correction] Montrer que si un sous-espace

de loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 5 4.6.4 Variables aléatoires normales (ou variables gaussiennes) Des inégalités fameuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Inégalité de Bienaymé-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Vecteurs aléatoires

MATH-CHAPITRE 11: Distances & Lieux 1. Inégalité Triangulaire et Position Relative de 2 cercles 1.1 Inégalité Triangulaire Dans un triangle, la longueur de chaque côté -plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés -plus grande que la différence positive des deux autres côtés exemple: 7 2 3 7 >2+3 2 TANGENTS EXTÉRIEURS 01 02 = r1 – r2 ---> TANGENTS INTÉRIEURS 01 02 > r1 + r2 ---> DISJOINTS EXTÉRIEURS 01 02 < r1 – r2 ---> DISJOINTS INTÉRIEURS 01 02 = 0 ---> CONCENTRIQUES

la m´thode des ´l´ments finis e ee M1 MAI Eric Blayo Janvier 2010 ii Table des mati`res e 1 Outils d’analyse fonctionnelle 1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e e e e e 1.4 Espaces de

Déterminer une condition nécessaire et susante sur c pour que (v1 , ...., vn ) soit nécessairement liée . Exercice 9 Soient un entier naturel n ≥ 1 et x, y ∈ Rn . 1. En développant y 2 2 x − x, y y n , retrouver l'inégalité de Cauchy-Schwarz et le cas d'égalité . n 2. Soit (xi )1≤i≤n ∈ R∗ + tel que x1 + .... + xn = 1 . Montrer que k=1 1 ≥ n2 , préciser le cas d'égalité . xk Exercice 10 Soient u1 , u2 , ...., un des vecteurs unitaires de Rd tels que : n ∀x ∈

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

représentation géométrique. Opérations algébriques et leurs propriétés (structure de corps). 2 - Conjugaison. Morphisme z → z. Interprétation géométrique. B) Représentation trigonométrique des nombres complexes 1 - Module, propriétés, distance usuelle, inégalité trian1 gulaire et cas d’égalité, disques ouverts et fermés. 2 - Argument, propriétés. Module et argument de z → z . 3 - Exponentielles complexes, groupe U et morphisme t → e it , morphisme z → e z . 4 - Formules de Moivre et n d’Euler. Applications