Inégalité de Cauchy-Schwarz

||v|| = 0 si et seulement si v = 0, (N2) ||rv|| = |r| · ||v||, (N3) ||v + w|| ||v|| + ||w||. Nous supposons connue la preuve de ces propriétés – en effet, (N1) et (N2) sont triviales, tandis que pour démontrer (N3) on a besoin de l’inégalité de Cauchy-Schwarz (la revoir, si nécessaire !). 2. Espaces vectoriels normés 2.1. Définition. Soit V un espace vectoriel sur R (de dimension finie ou infinie). On appelle norme (sur V ) toute application N : V → R, v → N (v) qui satisfait les propriétés (N1) N

: forme bilinéaire symétrique ϕ ( x, y) =t XAY ( x, y) ∈ E2 X = MatB ( x) Y = MatB ( y) Norme euclidienne – Définition x 2 = ( x| x) · 2 : norme euclidienne sur E x∈E Inégalité de Cauchy-Schwarz |( x| y)| x · y ∀( x, y) ∈ E2 Il y a égalité si et seulement si les vecteurs x et y sont liés. 1. Algèbre 23 Inégalité triangulaire ou de Minkowski x+y ∀( x, y) ∈ E2 x + y Il ouysia xégalité = 0. si et seulement si les vecteurs x et y sont positivement liés Relations entre produit scalaire

(x2 ) . f (x2 ) . • f est croissante sur I si I ⊂ D f et • f est décroissante sur I si I ⊂ D f et • f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. • Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone, sur D f . 2.4 Extremum ∀x ∈ D f f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )). • f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si : • f admet un maximum

semi-directs, les sous-groupes distingués, l’équation des classes, la formule de Burnside, les groupes libres... – Le théorème de Cayley : tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. – Le lemme de Cauchy : si l’ordre d’un groupe est divisible par un nombre premier p, alors il contient au moins un élément d’ordre p. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 5 A.4 Anneaux Notions – Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition

∀(λ, µ) ∈ C2 , ∀(x, y, z) ∈ E3 , (λx + µy|z) = λ(x|z) + µ(y|z) (( | ) est linéaire par rapport à la première variable et donc sesquiilinéaire), Ž ∀x ∈ E, (x|x) ≥ 0, (( | ) est positive)  ∀x ∈ E, ((x|x) = 0 ⇒ x = 0) (( | ) est définie). Inégalité de Cauchy-Schwarz. Pour (x, y) ∈ E2 , |(x|y)| ≤ (x|x) (y|y) avec égalité ⇔ (x, y) liée. Dans tous les cas x → (x|x) est une norme sur E appelée norme hilbertienne. n n Si on dispose d’une base orthonormée (ei )1≤i≤n , alors pour x = i=1 xi ei ∈ E

et comme 1 + 4θλ sin2 ( ξ∆x ) ≥ 1 on obtient |g(ξ; ∆x, ∆t)| ≤ 1 pour tout λ. 2 1 Si θ < 2 , |g(ξ; ∆x, ∆t)| ≤ 1 si et seulement si 1 − 4(1 − θ)λ sin2 ξ∆x 2 ≤ 1 + 4θλ sin2 ξ∆x , 2 et 4(1 − θ)λ sin2 ξ∆x ξ∆x − 1 ≤ 1 + 4θλ sin2 . 2 2 La première inégalité a toujours lieu, et, pour la seconde, on montre aisément que celle-ci 1 équivaut à la condition λ ≤ 2(1−2θ) . 46 Chapitre 4 : Problèmes paraboliques 47 Chapitre 5 Bilan sur les différences finies et exercices 5.1 Problèmes elliptiques On

saillants des travaux de ce siècle. Le XIXe siècle vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniments

(x2 ) . f (x2 ) . • f est croissante sur I si I ⊂ D f et • f est décroissante sur I si I ⊂ D f et • f est monotone sur I si elle est croissante sur I , ou décroissante sur I . © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. • Avec des inégalités strictes, on définit : f strictement croissante, strictement décroissante, strictement monotone, sur D f . 2.4 Extremum ∀x ∈ D f f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )). • f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si : • f admet un maximum

l'existence de la limite découle de la formule d'isométrie d'Itô pour les fonctions élémentaires, on a pour tous n, m : T T 2 T E S φm dt − S φn dt =E S (φm − φn )2 dt La suite des T S φn (t, ω) dBt (ω) est donc une suite de Cauchy dans L2 (P ). 7 2.3 Propriétés de l'intégrale d'Itô On peut étendre la formule d'isométrie d'Itô à toute fonction de V : Corollaire 2.1 (Isometrie d'Itô). Pour toute fonction f appartenant à V , on a l'égalité suivante : T 2 T E S

éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent. ➥ Exercice 1.6 b) Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels • Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrés de réels), pour conclure à une positivité. ➥ Exercices 1.6, 1.11 • Appliquer convenablement l’inégalité de Cauchy-Schwarz ou l’inégalité de Minkowski. ➥ Exercice 1.12. Voir aussi chapitre 6. Essayer de faire une récurrence sur