Inégalité de Cauchy-Schwarz

préparatoires économiques et commerciales toutes options (Ellipses). (e) Recueils d’annales corrigées (Ellipses), pour la première année, les sujets de la voie économiques sont plus indiqués que ceux de la voie scientifique. Table des matières 1 Inégalités dans R 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .

−x si x < 0 (1.1) Il s’agit de la “valeur numérique de x sans son signe”, mais aussi de “la distance de x à 0”. On vérifie facilement que : (a) |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 ; (b) |x| < a ⇐⇒ −a < x < a ; (c) |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ; (d) |xy| = |x||y| ; (e) Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y| ; (f) ||x| − |y|| ≤ |x − y| ; ; (g) max{x, y} = (x+y+|x−y|) 2 (x+y−|x−y|) (h) min{x, y} = . 2 1.5. Partie entière. On ne démontrera pas ici que N, Z et Q sont inclus dans R, mais on rappellera le théorème fondamentale

. . . 6.2.4 Fonction de répartition . . . . . . . . 6.3 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . 6.3.1 Généralité . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Espérance conditionnelle . . . . . . . 6.3.3 Théorème de transfert et applications 6.3.4 Inégalités de Markov . . . . . . . . . 6.4 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Variance, écart type et autre moments 6.4.2 Covariance . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Pour les TD . . .

= · 3 3 √ 10. Produit scalaire 3. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la norme euclidienne d’un vecteur de coordonnées (x, y) est justement égal à (x, y) : u u y 2 = x2 + y2 x O Théorème 1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, on a l’inégalité : | x, y | x y , avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires. Preuve Soient x, y deux vecteurs de E. Si y = 0, l’inégalité est vérifiée. C’est en fait

Pour z = 0, on pose un (z) = n! un (z) n+1 Le critère de d’Alembert assure alors l’absolue convergence voulue. 2. Soit (z, z ) ∈ C2 . n Or k=0 z k z n−k 1 = k! (n − k)! n! +∞ +∞ n k=0 n k z k z n−k zn n! n=0 +∞ n +∞ +∞ Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, × (z )n n! n=0 = n=0 k=0 z k (z )n−k . k! (n − k)! (z + z )n = . n! +∞ zn zn (z + z )n Donc × = . n! n! n! n=0 n=0 n=0 C’est-à-dire, on a bien f (z)f (z ) = f (z + z ). 3. Soit z ∈ C. Puisque f (z)f (−z) =

est (1 − 3)2 + (6 − 7)2 + (−4 − 2)2 + (3 + 2)2 √ 4 + 1 + 36 + 25 = 66. Théorème 5.6. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient u et v des vecteurs de Rn . Alors on a |u • v| ≤ u · v . Théorème 5.7. Soient u et v des vecteurs de Rn , et soit λ un scalaire. Alors on a : (a) u ≥0 =0 (b) u (c) λu = |λ|· si et seulement si u = 0 (d) u+v ≤ u u + v (Inégalité du triangle) Démonstration. (a) et (b) découlent des points (d) et (e) du théorème 5.4.

. 164 20 Intégration et ordre 165 20.1 Suites et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 20.2 Intégration des fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 20.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 21 Intégration et sommes 166 21.1 Centre d’inertie d’un demi-disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 21.2 Encadrement du logarithme népérien . . .

. 172 20 Intégration et ordre 173 20.1 Suites et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 20.2 Intégration des fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 20.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 21 Intégration et sommes 175 21.1 Centre d’inertie d’un demi-disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 21.2 Encadrement du logarithme népérien . . .

leur distance dans R4 est (1 − 3)2 + (6 − 7)2 + (−4 − 2)2 + (3 + 2)2 √ 4 + 1 + 36 + 25 = 66. Théorème 5.6. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient u et v des vecteurs de Rn . Alors on a |u • v| ≤ u · v . Théorème 5.7. Soient u et v des vecteurs de Rn , et soit λ un scalaire. Alors on a : (a) u ≥0 =0 (b) u (c) λu = |λ|· si et seulement si u = 0 (d) u+v ≤ u u + v (Inégalité du triangle) Démonstration. (a) et (b) découlent des points (d) et (e) du théorème 5.4. u1 (c) Soit u = ..

leur distance dans R4 est (1 − 3)2 + (6 − 7)2 + (−4 − 2)2 + (3 + 2)2 √ 4 + 1 + 36 + 25 = 66. Théorème 5.6. (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soient u et v des vecteurs de Rn . Alors on a |u • v| ≤ u · v . Théorème 5.7. Soient u et v des vecteurs de Rn , et soit λ un scalaire. Alors on a : (a) u ≥0 =0 (b) u (c) λu = |λ|· si et seulement si u = 0 (d) u+v ≤ u u + v (Inégalité du triangle) Démonstration. (a) et (b) découlent des points (d) et (e) du théorème 5.4. u1 (c) Soit u = ..