Inégalité de Cauchy-Schwarz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 La loi uniforme sur [0, 1]. La loi uniforme sur [a, b]. La loi normale ou de Laplace-Gauss. La loi Log-normale. La loi exponentielle. La premi`re loi de Laplace. La loi de Cauchy. La loi gamma. La loi e bˆta. Les lois arcsinus. Compl´ments et exercices. e e e CHAPITRE 15. Lois de probabilit´ de fonctions de variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est un polynôme de dégré 2 en de signe constant donc le discriminant de f ( ) est négatif. K o¢ G e rm a in A B A L O Théorème 3.41 : Soit ' une f:b:s positive sur E alors on a 8x; y 2 E : 1) p ('(x; y))2 q(x)q(y) (inégalité de Cauchy Schwarz) p p 2) q(x + y) q(x) + q(y) (inégalité triangulaire ou de Minkowski). 44 U F R -M I 3.3. ORTHOGONALITE 40 = ['(x; y)]2 '(x; x)'(y; y) 0 donc ['(x; y)]2 '(x; x)'(y; y); d’ le résultat. où Maintenant si q(x) = q(y) = 0; alors q( x + y) = 2 '(x; y)

modules Pour tous nombres complexes Z et Z' : · Module d'un produit : |Z ´ Z'| = |Z| ´ |Z'|. Et en particulier, si l est réel : |l Z| = |l| |Z|. · Module d'un quotient : Z Z 1 1 = (lorsque Z' ¹ 0). En particulier, pour tout Z ¹ 0 : = Z¢ Z¢ Z Z · Inégalité triangulaire : |Z + Z'|  |Z| + |Z'| Démonstration : |Z Z'|2 = Z Z' Z Z ¢ = Z Z' Z Z ¢ = Z Z Z' Z ¢ =|Z|2|Z'|2 = (|Z||Z'|)2 Et comme un module est positif : |Z Z'| = |Z||Z'| Axe des imaginaires purs La deuxième propriété se démontre de façon

L’ensemble des x ∈ R tels que 1 < |x + 1| ≤ 2. √ √ Exercice 1.57. — A-t-on x2 = x ? Ne serait-ce pas plutôt x2 = |x| ? Proposition 1.13.2. — Quels que soient a, b ∈ R, on a (13) (14) |ab| = |a| |b| |a + b| ≤ |a| + |b| L’inégalité (14) est appelée inégalité triangulaire (certains prétendent qu’il s’agit de l’ina égalité la plus importante des mathématiques...) De (13), on déduit b = |a| pour tous réels a et |b| b, et, par récurrence, |an | = |a|n pour tout a réel et n dans Z. Exercice 1.58. — Démontrer

l’absurde, supposons π = a/b. Par intégration par parties : m In = k=1 (k−1) (−1)k−1 sin(t + kπ/2)Pn (t) 0 + (−1)m 0 (m) sin(t + mπ/2)Pn (t)dt f (t) dt × 0 0 g(t) dt 0 f (t)g(t) dt On peut commencer par observer que si cette inégalité est vraie pour f et g, elle l’est encore pour f + λ et g + µ avec λ, µ ∈ R. On peut donc, sans perte de Donc 1 1 généralités, supposer 0 f (t) dt = 0 g(t) dt = 0 et il s’agit alors d’établir π 2n+2 2n+2 1 (k−1) (k−1) (k−1) f (t)g(t) dt 0. 0 In =

2n+1 ￿ j=i x(j) − i−1 ￿ j=1 x(j) . La preuve de cette in´galit´ est fond´e sur trois observations importantes : la convexit´ de la fonction e e e e x ￿→ |x|, le fait que la m´diane minimise l’´cart absolu moyen et l’in´galit´ de Cauchy-Schwarz. e e e e ´ Definition 1.34 (convexite) Soit I ⊆ R un intervalle. Une fonction f : I → R est convexe si et seulement si pour tout (x, y) ∈ I 2 et tout λ ∈ [0, 1] f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) . On v´rifie que x ￿→ |x| est convexe en invoquant

telle que, pour tout k dans [[2, n]], w(Pk ) = w(P0 ) = 0. 1.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT Exercice 1.23 Mines-Ponts PSI 2007 Soient E un K−espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E). Montrer que dim Ker u dim Ker u 2 2 dim Ker u. La première inégalité vient de Ker u ⊂ Ker u 2 . Soit v l’endomorphisme de Im u défini, pour tout x ∈ Im v par v(x) = u(x). Le théorème du rang donne donc dim Im u = rg u = dim Ker v + rg v. Mais Im v = Im u 2 et Ker v = Ker u ∩ Im v. On en déduit que rg v = rg u 2 et

cov(Y, X) 2. cov(X, X) = var(X) 3. ∀a, b, c et d ∈ : cov ( aX + b, cY + d ) = ac ⋅ cov ( X , Y ) ⇒ var ( aX + bY + c ) = a 2 var ( X ) + b 2 var ( Y ) + 2ab ⋅ cov ( X , Y ) 4. cov ( X , Y ) ≤ var ( X ) ⋅ var ( Y ) , cette inégalité est une conséquence de l’inégalité de Schwarz. On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le rapport : ----------------------ρ = cov ( X , Y ) σ X ⋅ σY Des propriétés de la covariance, on déduit que le coefficient de corrélation linéaire est invariant

>= 0. (b) < u, λv >=< λv, u >= λ < v, u >= λ < u, v >. (c) < u, v + w >=< v + w, u >=< v, u > + < w, u >=< u, v > + < u, w > . : 106 CHAPITRE 7. PRODUITS SCALAIRES GÉNÉRALISÉS 7.2 Angles et orthogonalité Théorème 7.13 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). ƒoit V un esp—™e ve™toriel muni d9un produit s™—l—ire génér—lisé F ƒoient u, v ∈ V F elors on — | < u, v > | ≤ u · v . hémonstr—tionF Si u=0 , alors on a < u, v >= u = 0 , donc l'armation est vraie. Supposons

appelées équations de Navier-Stokes. Elles sont examinées en détail au § 1.2 ; – T = F(D) correspond au cas des fluides non newtoniens « simples », avec F la loi de comportement du fluide. Les équations du mouvement résultantes sont appelées équations de Cauchy 2 . Les fluides non simples sont les fluides pour lesquels il n’y a pas de relation univoque entre tenseurs des contraintes et des taux de déformations. Formulation locale Une application du théorème de Green-Ostrogradski permet d’aboutir à la formulation