Inégalité de Cauchy-Schwarz

I est fini et si (pi) est séparante, alors il existe une norme sur E qui induise la topologie O. 27. On suppose ici I = N et et (pi) séparante. La distance d(x, y) = ∑ k∈N 1 2k min ( pk(x− y) , 1 ) . (1) induit la topologie O. De plus, (xn) est de Cauchy pour d si et seulement si ∀i ∈ I, sup m,n>N pi(xm − xn) −−−→ N→∞ 0 . Exercice 1. Montrer les propriétés ci-dessus. On notera aussi que la topologie associée à une famille de semi-normes sur E rend continues l’addition (de E × E dans E) ainsi que

´l´mentaire du laplacien . . . . . . . . . . ee 6.2.2 Solution ´l´mentaire du d’Alembertien . . . . . . . ee 6.2.3 Solution ´l´mentaire de l’op´rateur de la chaleur . ee e 6.2.4 Solution ´l´mentaire de l’op´rateur de Schr¨dinger ee e o 6.3 Le probl`me de Cauchy au sens des distributions . . . . . e 6.3.1 Le cas des ´quations diff´rentielles ordinaires . . . e e 6.3.2 Le cas des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Equations de Laplace

Voir aussi chapitre 17. • Effectuer un changement de variable pouvant ramener l’inégalité voulue à une autre plus simple. ➥ Exercice 1.10 • Tenir compte éventuellement des rôles symétriques des réels qui interviennent. Pour établir une inégalité portant sur plusieurs réels ➥ Exercice 1.6 b) • Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme de nombres tous positifs ou nuls (souvent des carrés de réels), pour conclure à une positivité. ➥ Exercices 1.6, 1.11, 1.12.

1] ; de loi de Poisson de paramètre λ > 0 ; de loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[. En déduire l'espérance et la variance de X dans chacun des cas. Calculer la fonction génératrice de de loi de Bernoulli de paramètre variable aléatoire Inégalités Exercice 5 1. Soit X une variable aléatoire intégrable. Montrer que pour tout a ∈ R+ (Markov) P(|X| ≥ a) ≤ E(|X|) . a 2. En déduire que si X est de carré intégrable alors pour tout a ∈ R+ (Tchebyche

1982  29. ↑ Ces expériences produisent des corrélations qui ne peuvent être expliquées par une théorie classique de la lumière, puisqu’elles résultent du processus quantique de la mesure. En 1974, Clauser a montré une violation d’une inégalité de Cauchy-Schwarz classique (Phys. Rev. D 9:853). En 1977, Kimble et ses collaborateurs ont démontré un effet de dégroupement de photons à l’aide d’un interféromètre Hanbury Brown et Twiss, alors qu’une approche classique montrerait un groupement des photons

la définition sinon on définit l’application φ sur ExE par et on vérifie que φ est un produit scalaire. On aura alors Pour obtenir la norme N associée au produit scalaire φ, on définit sur E l’application N par 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Avant d’utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il faut préciser le produit scalaire à utiliser. 4. Base orthonormée Si on veut construire une base orthonormée d’un espace de dimension n à partir : - d’une base quelconque, on applique le procédé d’orthonormalisation

définition sinon on définit l’application φ sur ExE par et on vérifie que φ est un produit scalaire. On aura alors Pour obtenir la norme N associée au produit scalaire φ, on définit sur E l’application N par 3. Inégalité de Cauchy-Schwarz Avant d’utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il faut préciser le produit scalaire à utiliser. 4. Base orthonormée Si on veut construire une base orthonormée d’un espace de dimension n à partir : - d’une base quelconque, on applique le procédé d’orthonormalisation

Chapitre 4 Techniques d’analyse (dérivation) Sommaire 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Propriétés de la relation d’ordre dans R . . . 4.1.1 Existence d’une relation d’ordre total sur R . 4.1.2 Relation d’ordre et opérations dans R . . . . 4.1.3 Valeur absolue, inégalité triangulaire . . . . . 4.1.4 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Parties majorées, minorées, bornées . . . . . 4.1.6 Borne supérieure et borne inférieure dans R . 4.1.7 Partie entière d’un nombre réel . . . . . . . . 4.1.8 Densité

. . . . 61 10. Le problème des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11. Trois applications de la formule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 12. Le théorème de rigidité de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 13. Simplexes contigus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14. Tout grand ensemble de points a un angle obtus . . . . . . . . . . .

3. Applications : (a) Déterminer le nombre d’applications f : {1, . . . , p} → {1, . . . , n} non surjectives. (b) Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ayant au moins un point fixe. Correction [002915] Exercice 2916 Inégalités pour la formule du crible Soient A1 , . . . , An n ensembles finis, et E = n i=1 Ai . 1. Montrer que Card (E) ∑ni=1 Card (Ai ). Cas d’égalité ? 2. Montrer que Card (E) ∑ni=1 Card (Ai ) − ∑1 i< j n Card (Ai ∩ A j ). 10 Cas d’égalité ? Correction