Inégalité de Cauchy-Schwarz

: • Tout plan de est euclidien [non orienté], i.e. contient des bases orthonormales. • La norme de vérifient les propriétés : → → → − – − = ⇐⇒ − = 0 [découle de la définition]. u u → → – α− = |α| · − [découle de la définition]. u u − +− → → − + − [inégalité triangulaire] : il suffit de se placer dans un plan contenant − → → → – u v u v u → et − . v 3) Repère orthonormal direct La notion d’orientation sera définie ultérieurement. D’une manière imagée on conviendra que le repère → → w → → orthonormal

)dx . Mars 2012 Intégrale des fonctions en escaliers Fonctions Intégrables au sens de Riemann Propriétés de l'intégrale de Riemann Primitives Méthode de calcul des intégrales Propriétés de l'intégrale de Riemann Proposition (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit f et g deux fonctions dénies et Riemann-intégrables sur [a,b]. Alors les fonctions fg , f 2 et g 2 sont Riemann-intégrables sur [a,b] et on a : | b a f (x )g (x )dx | ≤ ( b a f 2 (x )dx ) 2 ( 1 b a g 2 (x )dx

formule 1b. 3. Applications : (a) Déterminer le nombre d’applications f : {1, . . . , p} → {1, . . . , n} non surjectives. (b) Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ayant au moins un point fixe. Correction Exercice 2916 Inégalités pour la formule du crible Soient A1 , . . . , An n ensembles finis, et E = 1. Montrer que 2. Montrer que n i=1 Ai . n Card (A ). Cas d’égalité ? Card (E) ≤ ∑i=1 i Card (E) ≥ ∑n Card (Ai ) − ∑1≤i< j≤n Card (Ai ∩ A j ). i=1 [002915] Cas d’égalité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalités de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées . . . . . . . . Formule de Faulhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyennes d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2) • Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (ch. 3). Objectifs • Définition et propriétés élémentaires des formes bilinéaires symétriques • Consolidation des acquis sur les espaces vectoriels euclidiens : produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme euclidienne, orthogonalité • Définition et étude des endomorphismes symétriques et des endomorphismes orthogonaux • Définition de la notion d’adjoint ; son lien, en dimension finie, avec la transposition des matrices carrées • Énoncé

. . . . . . . . . Cesàro en version continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalités de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation du théorème de Cesàro pour les suites itérées Formule de Faulhaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyennes d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Lebesgue . . .

10 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 10 14. Espaces Préhilbertiens Réels et Euclidiens 14.1. 14.2. 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . Esp. vect. préhilbertiens et euclidiens . . Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes symétriques . . . . . . Matrice symétrique réelle . . . . . . . . . Procédé de Schmidt . . . . . . . . . . . . . Projection sur un s-e-v de dimension finie Méthode des Moindres Carrés . . . .

σ 2 ) : µ ∈ R} ; • Modèle gaussien à paramètre bi-dimensionnel {N (µ, σ 2 ) : µ ∈ R, σ 2 > 0} ; βα • Modèle Gamma {G(α, β) : α > 0, β > 0} = {fα,β (x) = Γ(α) xα−1 e−βx 1lR+ (x) : α > 0, β > 0} ; • Modèle uniforme {U[0,θ] : θ > 0} ; 1 • Modèle de Cauchy {fθ (x) = π(1+(x−θ)2 ) : θ ∈ R} ; • Modèle Multinomial {M(n, p1 , . . . , pk ) : 0 < pi < 1, ∀i = 1, . . . , k et 1}. k i=1 pi = Pour tous ces modèles, répondre aux questions suivantes. 1) Quelle est l’expression de la densité fθ (x) ? 2) Le modèle

· · · λ i k 1≤i1 ) 2 pour x ∈ E, alors la fonction c’est-à-dire que l’on a : 1. ∀λ ∈ R ∀x ∈ E 2. x = 0 ⇔ x = 0. 3. Inégalité triangulaire : ∀x ∀y ∈ E x+y ≤ x + y est appelée la norme euclidienne associée au produit scalaire. On peut alors définir sur E une structure d’espace métrique en posant d(x, y) = x − y . La démonstration de ce résultat repose sur l’Inégalité de Cauchy-Schwarz : < x, y >2 ≤ x l’égalité étant réalisée ssi x et y sont colinéaires. 2 1 est une norme sur E, λx = |λ| x .

classe) un nombre I(f ), appelé intégrale de f et qui vérifie certaines propriétés (linéarité, positivité, ...). Exemple (fondamental). On retrouve pour la première fois l’exemple suivant (actuellement connu comme l’intégrale de Riemann) dans le cours de Cauchy en 1820. Soit C 0 ([a, b] , R) l’espace des fonctions continues sur un intervalle [a, b] à valeurs dans R. Pour tout f ∈ C 0 ([a, b] , R), la limite suivante existe : I(f ) = b−a N →+∞ N lim N −1 i=0 f (a + i b−a ) N (1) La correspondance