Intégration économique

nouveaux pour les intégrales généralisées ; il suffira, x comme dans l'exemple précédent, d'effectuer ces opérations sur les intégrales ⌠ ⌡  f(t) dt      a avant de chercher la limite éventuelle de la fonction de x. Exemple Par récurrence et intégration par parties, on prouve que pour tout 3 n ‘ ˙ , l'intégrale +& tn e-t dt est convergente et vaut n! . ⌠ ⌡       0 Proposition 1 Si f et g ont des intégrales convergentes sur [a , b[ (ou ]a , b] , ]a , b[) , f + g et ¬f (¬ dans È ou Â) ont

). Montrer que : ∀ A ∈ R2 , H f ◦ϕ (A) = t JH f (ϕ(A))J. [004150] Exercice 4151 Formule de Leibniz Soient f , g : R2 → R de classe C n . Calculer ∂ n ( f g) ∂ xk ∂ yn−k en fonction des dérivées de f et g. Correction [004151] Exercice 4152 Intégration de formes différentielles Déterminer les fonctions f : D ⊂ R2 → R vérifiant : 1. ∂f ∂x ∂f ∂y = = 2+x y 2+y x 198 1−y (x+y+1)2 2+x (x+y+1)2 2. ∂f ∂x ∂f ∂y = 3. ∂f ∂x ∂f ∂y = 4. ∂f ∂x ∂f ∂y = 2x + 1y = = y2 (x+y)2 x2 (x+y)2 = 2y

Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC 2008-2009 cours no 2 : Intégrales généralisées Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F ′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où

. b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire. 1,5 y 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x -0,5 -1 -1,5 1 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Antilles, Juin 2007 Sujets de Bac Terminale S

424 Concours commun Agro INA ENSA Ière composition option générale 1/2 M ATHÉMATIQUES Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale) Concours commun INA-ENS! Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle (€1 xy' + y = - . 2 1 +x 1 Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El. Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1. PARTIE 1 t t u d e des courbes

primitive (formelle) de est : La partie réelle de cette expression est : qui est donc une primitive de . La seconde technique de calcul à connaître est l'intégration par parties : Il faut penser à une intégration par parties quand l'un des facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), (dérivée ), (dérivée ) ou (dérivée ). Encore faut-il connaître une primitive de l'autre facteur.

Les débuts de l'intégrale définie Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles. Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann. Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures. Rrésumé de la technique de

Intégration On considère un repère orthogonal [pic]. [pic] 1 unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle OIKJ. I – Intégrale d’une fonction positive Définition : On considère une fonction f continue et positive sur [pic]. [pic] est sa courbe représentative dans le repère [pic]. [pic] On définit le domaine D délimité par : • [pic], • Les droites d’équation [pic] et [pic], • L’axe des abscisses. L’aire de D, exprimée en unités d’aire, est le réel [pic]. Cette écriture

fonction g prend des valeurs ≤ ε et ≥ 0. Ainsi avec la subdivision σ = {x1 , . . . , x p } nous obtenons : ε σ 0 ≤ Sg ≤ (b − a) = ε b−a Comme On en conclut que g est Riemann-intégrable sur [0, 1]. Correction de l’exercice 5 cf André Gramain, Intégration, p. 7, Hermann (1998). Correction de l’exercice 6 Pour tout n ∈ N, on définit fn :]0, 1] → R par : fn (x) = ne−nx . Pour tout x ∈]0, 1], on a limn→+∞ fn (x) = limn→+∞ ne−nx = 0. On en déduit que la suite de fonctions fn converge ponctuellement (ou