Introduction Type

La loi de Pascal, ou loi binomiale négative, est une loi de probabilité discrète qui trouve à s’appliquer dans un schéma de Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès. La loi binomiale négative exprime

|   | 163 | 453 |   | -1,675 | Moyenne arithmétique pondérée d’une variable discrète Moyenne = ∑ ni xi/∑ni soit 453/163 = 2.779 Variance = Somme ni(xi – moyenne)2 Soit 163 *(-1.675)2/163 = 163 * 2.80/163 = 2.80 L’écart type = √ 2.80 = 1.67 Estimation de l’intervalle de confiance pour 163 personnes % | On retient la valeur la plus proche de la table des intervalles de confiance page 108 | La lecture du tableau donne pour 150 personnes | 7.98%

boîte ou diagramme à moustaches Dans l'exemple : II – Moyenne et écart-type 1 - La moyenne Définition 4: On appelle moyenne d'une série statistique dont les valeurs du caractère sont les effectifs correspondants sont , le nombre : et Dans l'exemple : Remarque : Pour une série continue, on prend le centre de classe comme valeur du caractère, c'est à dire le milieu de chaque intervalle. 2 - Variance et écart-type Définition 5: On appelle variance d'une série statistique dont les valeurs

L’étendue de la série (la longueur totale du diagramme)  L’écart interquartile de la série, dispersion des valeurs des deux quarts centraux (longueur de la boite)  La position de la médiane (à l’intérieur de la boite) L’écart type d’une série statistique : L’écart type d’une série statistique mesure la dispersion de cette série autour de la valeur moyenne ; il est très sensible aux valeurs extrêmes. Remarque : vous calculerez cet indicateur à l’aide du mode statistique de la calculatrice ou

. . . . . . . . . Médiane . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Calcul de médiane pour une 3.3.2 Calcul de médiane pour une Etendue . . . . . . . . Quartiles . . . . . . . Déciles . . . . . . . . . Diagramme de Tukey . Variance . . . . . . . . Ecart-type . . . . . . . 4.6.1 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3 6 6 6 6 7 7 7 7 4 Paramètres caractéristiques d'une variable : paramètres de dispersion

similaire ? A est-il préféré à B ? Les risques : 1. Risque α : Risque de croire vraie une différence qui n'existe pas 2. Risque β : Risque de ne pas voir une différence qui existe en réalité MOYENNE ET ECART-TYPE Moyenne : valeur moyenne d'une réponse (pour les réponses sur une échelle). Ecart-type : mesure la dispersion d'une variable. A noter également : Médiane : valeur telle que 50 % des réponses sont supérieures et 50 % sont inférieures, Mode : réponse le plus souvent donnée (par exemple quand

Comme la variable aléatoire Z est une transformation affine de X on en déduit que : E(Z) = 400 – 100 E(X) = 400 – 100[pic]40[pic] [pic] = 400 – 800 = – 400 euros Remarque : Avec cette transformation affine on peut aussi en déduire directement l’écart type de Z par l’égalité [pic](Z) =[pic](X) = 400[pic][pic][pic]10119,30 euros 4) On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99 %. a) Démontrer que P(X[pic]2) = (1

LOI BINOMIALE I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p = 3 . 4 1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs). 2 b) Calculer k =0 2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès

une incertitude (mesurée par l’écart-type). 5 Combinaison d’un actif risqué et d’un actif sans risque  Exemple d’actif risqué : « cette action me rapportera du 8% +/- 3% » 6 3 26/11/2013 Combinaison d’un actif risqué et d’un actif sans risque  Exemple :     actif sans risque = emprunt d’Etat actif risqué = action de la société KC Portefeuille constitué à 100% de l’emprunt d’Etat : rentabilité? Écart-type? Portefeuille constitué à 100% de l’action

⎩σ R ≥ σ A A est efficient par rapport à cette zone qui est dominée σA Ecart-type du rendement Annexe 4 : Exercice 4.2 Détermination du portefeuille optimal Iso-utilité d’un agent peu risque adverse 25.0% Iso-utilité d’un agent très risque adverse A B 20.0% Espérance du rendement C D 15.0% E F 10.0% G 5.0% 0.0% 0.0% 5.0% 10.0% 15.0% Ecart-type du rendement Représentation des actifs Frontière d'efficience 20.0% 25.0%