Isomorphisme de graphes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Le gradient est perpendiculaire à la ligne de niveau . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Vecteur normal et plan tangent à un graphe d’une fonction de 2 variables 3 3.7 3.8 4 Applications deux fois différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exemples de différentielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Difféomorphismes

une application lineaire, alors la matrice de la transposee de $f$ dans les bases duales et la transposee de la matrice de $f$. - Lemme : Si E est un espace vectoriel de dimension finie, l'application canonique de E dans son bidual est un isomorphisme. 3.2 Formes quadratiques - - - - - - - - - - - - Soit k un corps de caracteristiques <>2 (p.ex. Q,R,C). Soit E un espace vectoriel de dimension finie - Definition : forme bilineaire $\beta : E \times E \to k$ ... $\beta$ symetrique

Plan du cours de th´orie des graphes. e I.U.T. de Blagnac. Jean-Fran¸ois Culus c culus@univ-tlse2.fr 2004-2005 Sommaire Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre 1 2 3 4 5 6 7 8 Premiers pas en th´orie des graphes. e Codage d’un graphe et cons´quences. e Graphes eul´riens et hamiltoniens. e Coloration d’un graphe et initiation ` la complexit´. a e Graphes orient´s. e Cheminement dans un graphe orient´. e Arbres et arborescences. Probl`mes de flots dans un r´seau

e exhaustive bloqu´e en d´but d’ann´e. e e e Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble P(E) des parties de E. Op´rations sur les parties : intersection, e r´union, compl´mentaire. Produit de deux ensembles. e e Application de E dans (vers) F ; graphe d’une application. Ensemble F(E, F ) des applications de E dans F . Ensemble E I des familles (xi )i∈I d’´l´ments d’un ensemble ee E index´es par un ensemble I. e Compos´e de deux applications, application identique. Restriction et prolongements d’une

en fonction de cos y. Montrer que Tn est un polynˆome de degr´e n pour tout n  0. Calculer T0, T1, T2. ii) Montrer que cos(n + 1)y + cos(n − 1)y = 2 cos ny cos y pour tout y. En d´eduire que Tn+1 = 2x Tn − Tn−1. Calculer T3, T4 et tracer le graphe de T4. iii) On pose xk = cos( 2k−1 2n ) pour 1  k  n. Montrer que Tn n’a que des racines simples, qui sont les xk. iv) On pose x0k = cos( k n ) pour 0  k  n. Montrer que Tn atteint ses extrema sur [−1, 1] en les x0k. 19 7. Formule de

fonction fn est dérivable en 1, et calculer fn (1). Que 8 - Résoudre les équations fn (x) = 0 et fn (x) = 0. 9 - On fixe pour cette question n = 5. Dresser un tableau de variations de f5 , et donner une allure, aussi précise que possible, de son graphe (unité : 5 cm). 1 - 0 (bonus) Montrer que, pour tout n ∈ N, la fonction fn est une fonction polynomiale. Plus précisément, en notant p = E( n ), montrer qu’il existe des entiers positifs a0 , . . . , ap tels que, 2 pour tout x ∈ D, p fn (x) =

2. 2.1 Premières propriétés Parité ∀x ∈ D f (−x) ∈ D f et f (−x) = f (x). • f est paire si Son graphe est symétrique par rapport à (Oy). • f est impaire si ∀x ∈ D f (−x) ∈ D f et f (−x) = − f (x) . Son graphe est symétrique par rapport à O. 2.2 Périodicité ∀x ∈ D f (x + T ) ∈ D f et f (x + T ) = f (x) . f est périodique, de période T (ou T-périodique), si − → Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kT i avec k ∈ Z. 2.3 Sens de variation ∀x1 ∈ I ∀x1

@xn @x2 @xn @x2n est appelée matrice hessienne de f en a. Théorème des fonctions implicites 3 Le théorème des fonctions implicites exprime qu’une courbe dé…nie implicitement par une équation du type f (x; y) = 0 peut être vue localement comme le graphe d’une fonction. Soient E, F, G des espaces de Banach, de classe C 1 . f9(x0 ; y0 ) 2 un ouvert de E F et f : ! G une application tel que f (x0 ; y0 ) = 0 et dy f (x0 ; y0 ) 2 Isom(F; G): ) De plus, 8x 2 U; d'(x) = (dy f (x; '(x))) 1 9U voisinage

partie non vide et major´ee admet une borne sup´erieure appartenant au corps (axiome de la borne sup´erieure). ✑ The´ore`me Il existe des corps des r´eels et si R1 et R2 sont deux tels corps il existe un isomorphisme de corps strictement croissant de R1 dans R2 (on dit que R est unique `a un isomorphisme croissant pr`es). [Admis] Ceci montre que toutes les constructions de R conduisent `a des ensembles ayant les mˆemes propri´et´es. ✑ Proprie´te´ Toute partie non vide et minor´ee de R admet une borne

2. 2.1 Premières propriétés Parité ∀x ∈ D f (−x) ∈ D f et f (−x) = f (x). • f est paire si Son graphe est symétrique par rapport à (Oy). • f est impaire si ∀x ∈ D f (−x) ∈ D f et f (−x) = − f (x) . Son graphe est symétrique par rapport à O. 2.2 Périodicité ∀x ∈ D f (x + T ) ∈ D f et f (x + T ) = f (x) . f est périodique, de période T (ou T-périodique), si − → Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kT i avec k ∈ Z. 2.3 Sens de variation ∀x1 ∈ I ∀x1