Isomorphisme

homomorphisme de groupe est une application f : (G, ∗) → (H, ◦) telle ∀x, y ∈ G, f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y) Si de plus f est une bijection, on dit que f est un isomorphisme de groupe et que G et H sont isomorphes. Exemples : 1) Consid´rons l’application x → xn . C’est un homomorphisme de Q∗ dans Q∗ (resp. e ∗ ∗ R , resp. C ). Cette application donne un isomorphisme de groupe de R∗ dans R∗ (en + + effet tout r´el positif poss`de une unique racine n-`me positive, voir chapitre 4). e e e 2) Soit G le groupe des transformations

groupe est un sous –groupe ssi l‟un est inclus dans l‟autre. EXERCICE 10: On pose ? = ? − 2 et on définit la loi suivante ∀ ?, ? ?? × ? ??? = ?? − 2 ? + ? + 6. 1 . Montrer que (?, ?) est un groupe commutatif. 2. Montrer que ?: ? → ? − 2 est un isomorphisme de (?, ?) sur (? ∗ ,×). 3. Montrer que ( 2, +∞ , ?) est un sous-groupe de (?, ?). EXERCICE 11 : Démontrer que tout homomorphisme de (?, +) dans (?, +) est nul. EXERCICE 12: On munit ? des lois ? et ∗ de la façon suivante : ??? = ? + ? − 1

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n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. Indication. Montrer que ses sous-groupes stricts sont monogènes. Groupe diédral Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier à n côtés ne dépend pas (à isomorphisme près) du polygone choisi. Quel est son cardinal ? Quels en sont les sous-groupes ? 1. Concepts algébriques fondamentaux 3 Sous-groupes finis de ( / , +) et quotients Considérons le groupe ( / , +) ; il s’identifit au groupe des racines de l’unité

on renvoie à [B] ou [HL]. 2.1 Généralités Définition 6. Soient E et F deux espaces vectoriels normés. On note L(E,F ) l’ensemble des applications linéaires continues de E dans F . On notera aussi L(E) = L(E,E). On note Isom(E,F ) l’ensemble des isomorphismes bicontinus de E dans F . On note GL(E) = Isom(E,E), qui est aussi l’ensemble des inversibles de L(E). Proposition 6. Soit L une application linéaire de E dans F . Alors L ∈ L(E,F ) si et seulement si ∃C > 0, ∀x ∈ E, ‖L(x)‖ ≤ C‖x‖ . Dans ce cas

En effet, soit x ∈ E. On a π(x) = [x] = πS ([x]), d’où π(x − S ([x])) = 0 et z = x − S ([x]) ∈ M. Par conséquent, x = z + S ([x]) avec z ∈ M et S ([x]) ∈ N, ce qui donne E = M ⊕ N avec M et N fermés. (2) Par hypothèse, il existe φ : 1 1 → E/M isomorphisme bi-continu. Soit (en )n la base canonique de et soit [an ] = φ(en ) pour tout n. Puisque φ est continue, il existe C > 0 tel que [an ] E/M < C pour tout n. Alors, par définition d’une borne inférieure, ∀n ≥ 1, ∃an ∈ [an ] ⊆ E tel que an < C.

..., en ) une base de V et soit B ∗ = (α1 , ..., αn ) la base duale de V ∗ correspondante, donnée par le théorème 10.5. D’après ce théorème, il est évident que l’application : ΘB : V ei V∗ αi −→ → est un isomorphisme entre V et V ∗ . Notons que cet isomorphisme dépend de la base B choisie : en ce sens, il n’est pas canonique. Il est intéressant de noter les relations suivantes entre une base B = (e1 , ..., en ) de V et sa base duale B ∗ = (α1 , ..., αn ) de V ∗ . Ces relations

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