Lemme de Fatou

RESUME A) SUITES DE FONCTIONS, CONTINUITE ET INTEGRATION Théorème 0.1 (Continuité) I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que : i) fn −→ f CU (converge uniformément) ii) ∀n ∈ N : fn continue en a Alors : f est continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème

de x à y en n étapes. La période d’un état x ∈ E est : PGCD {n ∈ N*; π⁽ⁿ⁾(x,x) > 0}. Un état est dit apériodique si sa période est 1. Une chaîne de Markov est apériodique si tous ses états sont apériodiques. On a besoin du lemme suivant : Lemme1 : Si A est un ensemble fermé pour l’addition et de pgcd égal a 1 alors il existe un k0 tel que A contient tous les entiers ≥k0. Théorème 1 : Soient X une chaîne de Markov récurrente irréductible, apériodique et π sa matrice de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 4 6 6 2 Inégalités pour les adolescents Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Markov ou Bienaimé-Tchebytchev . Inégalité

lim n-+oc j. fnd.u = { A lim fndJ.L lA n-++oo = jA j du, temm~ "4.2 (L~"mme Fatou) de Soit (fn (X, A, J.L) -t [0, +OOJ))nEN une suite de fonctions alors lim inf fn dJl ::; lim inf fnd.u lx n-++oo n-++oolx .~~-~ mesurables positives. On a r r ..~ __ '~~:~.,..~~"" ;;,---- --:":;:""'=d:':'iilii';Jâ.,-~"";.··_,,,--.~~ "4.1.3-- Thé~rê~e-convergenceominée de Lebesgue d Lemme 4.3 Soit 9 : (X, A, J.L) -t fonctions intégrables de (X, ~ une fonction intégrable

les deux ¶egales µa l 2 R, alors pour n tendant vers l'in¯ni l á inf k¸n uk · un · sup k¸n uk ¡! l; ce qui prouve le r¶esultat. 2 Un autre r¶esultat qui sera utile dans le cours concerne les sommes doubles dans R. On note R+ = [0;+1]. 4 Lemme 1.1.4 Soit (uj;k) une suite double de R+. Alors X j à X k uj;k ! = X k 0 @ X j uj;k 1 A: Cette somme est simplement not¶ee P j;k uj;k. Preuve. On sait d¶ejµa que pour j ¯x¶e la s¶erie P k uj;k converge dans R puisque son terme

X = Rd et R = laRmesure de Lebesgue, nous dirons intégrabilité de Lebesgue et intégrale de Lebesgue, et on note f d = f (x)dx. On note par L1 (X; A; ; R) (ou simplement L1 ) l’ ensemble de toutes les fonctions f 2 M(X; A; R) qui sont intégrables. Lemme 1 Soit (X; A; ) un espace mesuré et soit f1 ; f2 ; g1 et g2 2 L1 (X; A; ; R) telles que f1 f2 = g1 g2 . + Alors Z Z Z Z f1 d f2 d = g1 d g2 d . Proposition 17 Soit (X; A; ) un espace mesuré. Alors L1 (X; A; ; R) est R espace vectoeiel. De plus, si

(t) = −rt V a (t) dt + at dVt , On a alors, comme Vt = ψt St + φt Rt , ψt dS a (t) = −rt at (Vt − φt Rt ) dt + at ψt dSt = −rt V a (t) dt + at (φt dRt + ψt dSt ). On en déduit immédiatement le Lemme. Soit (φ, ψ) une stratégie. (φ, ψ) est autofinancée si et seulement si dV a (t) = ψt dS a (t). Ce petit lemme possède une conséquence importante : une stratégie autofinancée est entièrement caractérisée par la valeur initiale du portefeuille V0 et le processus ψt . En effet, une stratégie est autofinancée

born´es sur Ω, stable par multiplicae e e tion et contenant les constantes. Tout espace vectoriel monotone contenant C contient les fonctions born´es mesurables par rapport ` σ(C). e a Lemme 1 Soit H0 le plus petit sous espace vectoriel monotone contenant C. Alors H0 est stable par multiplication. Lemme 2 Si H0 est un espace vectoriel monotone de fonctions born´es, stable par multie plication, alors il co¨ncide avec b(σ(H0 )), o` b(σ(H0 )) est l’ensemble des fonctions born´e ı u e et mesurable

Lebesgue. On remarque que chacun des ej est Htj -mesurable. e Pour les fonctions ´l´mentaires, on pose, toujours par analogie avec la construction ee de l’int´grale de Lebesgue2 : e T N −1 φ(t, ω) dBt (ω) = S j=0 ej (ω)[Btj+1 − Btj ](ω) Lemme 1 (Isom´trie d’Itˆ pour les fonctions ´l´mentaires). Soit φ une fonction ´l´e o ee ee mentaire born´e. Alors : e T 2 T E S φ(t, ω) dBt (ω) =E S φ2 (t, ω) dt D´monstration. Posons, pour simplifier les notations, ∆Bj = Btj+1 − Btj .

construire dans le cas g´en´eral consiste ` a prendre un sous-ensemble A ⊂ Ω arbitrairement. Et alors la collection F = {∅, A, Ac , Ω} est une tribu contenant 4 ´el´ements (sauf dans les cas triviaux A = ∅ ou A = Ω, quand elle ne contient que 2). → 1.4 Lemme. Soit Ω un ensemble et F ⊂ P(Ω) une collection de sous-ensembles de Ω. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes. (i) F est une tribu sur Ω. (ii) F v´erifie les conditions suivantes : (i) ∅ ∈ F, (ii) si, pour tout n ∈ N on a An ∈ F, alors