Lemme de Fatou

nulle. Il suit que lim inf Xn = lim sup Xn presque sˆrement, et donc que e u limn→∞ Xn =: X existe presque sˆrement. Le lemme de Fatou nous assure que E(X + ) u + lim inf E(Xn ) < ∞, et donc X < ∞ presque sˆrement. Enfin, pour montrer que X > −∞ u presque sˆrement, on d´compose u e − + E(Xn ) = E(Xn ) − E(Xn ) + E(Xn ) − E(X0 ) , (6.2.9) et on applique ` nouveau le lemme de Fatou pour montrer que E(X − ) < ∞. a 42 ´ ` CHAPITRE 6. THEOREMES DE CONVERGENCE Corollaire 6.2.3. Soit Xn une

maintenant f ∈ F 0 , (i) appliqu´ a g = f montre que e` + ` tout n, et en passant a la limite on obtient α ≤ f dµ. Par suite ¯ ` 2) Les fonctions positives : Dans la suite on note F + l’ensemble des fonctions mesurables a valeurs dans I¯ + R Lemme 13 Toute fonction f de F + est limite simple d’une suite croissante (fn )n≥1 de fonctions mesurables positives etag´ es (i.e. f (x) = limn ↑ fn (x) pour tout x ∈ E). ´ e Preuve. Il suffit de poser : fn (x) =    k 2n si k 2n ≤ f (x) <

Ftj -mesurables. Pour les fonctions élémentaires, on dénit ainsi l'intégrale d'Itô : T Iφ (ω) = S φ(t, ω)dBt (ω) = j≥0 ej (ω)[Btj+1 − Btj ](ω) On a un premier résultat sur l'integrale d'Itô de certaines fonctions élémentaires : Lemme 2.1 vante : (Isometrie d'Itô). Soit φ une fonction élémentaire bornée. On a alors l'égalité suiT E S φ(t, ω)dBt (ω) 2 T =E S φ(t, ω)2 dt Démonstration. On pose ∆Bj = Btj+1 − Btj . Comme ∆Bi et ∆Bj sont indépendants pour

. En effet : Lemme 1.3.1 Soit g : {0, . . . , n} → R une fonction telle que, pour tout θ ∈ Θ = [0, 1], Eθ [g(Sn )] = 0. Alors g est la fonction nulle. ´monstration Remarquons que : De n Eθ [g(Sn )] = s=0 n s θ (1 − θ)n−s g(s). s Par cons´equent, Eθ [g(Sn )] est un polynˆome en la variable t = θ/(1 − θ), identiquement nul si t ∈ R (ou de fa¸con ´equivalent θ ∈ (0, 1)). Les coefficients de ce polynˆ ome sont donc n´ecessairement tous nuls. Il suit bien du lemme que, si T est

. . . . . . . 61 61 62 62 62 ` TABLE DES MATIERES 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 5 6.2.3 Changement de num´eraire . . . . . . . . . . . . . . . AOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Lemme sur la transform´ee de Laplace . . . . . . . . 6.3.2 Preuve du th´eor`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation d’un actif r´eplicable dans un march´e viable . . . March´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5

différence non symétrique 1 A \ B = A ∩ B ∁ ∈ M Evidemment, tout ensemble X possède des tribus, par exemple : – M = {∅, X} la plus petite – M = P(X) la plus grande Pour construire des tribus "intéressantes" sur X, on utilise souvent le résultat suivant : Lemme 1.2. Soit {Mi }i∈I une famille quelconque de tribus sur X. Alors M = sur X. Démonstration. La vérification est immédiate. Mi est encore une tribu Conséquences: – ∅ ∈ M car X ∈ M ∁ iii) Si An ∈ M, ∀n ∈ N, alors An ∈ M iii’) Si A, B ∈ M, alors

espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de base de la théorie des séries de Fourier, de la théorie de l’intégration et de la théorie de la mesure, intégrales de Poisson, théorèmes de Herglotz, de Fatou, de Szëgo-Riesz « log |f | ∈ L1 », des frères Riesz, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorie de Beurling-Lax des espaces invariants pour le décalage discret ou continu, théorèmes de Szëgo-Kolmogorov-Krein et de Wold sur les séries temporelles

Ceci implique I (V > 0) = 0. P 4.6. Th´or`mes de convergence. Le Th´or`me ?? fournit un premier r´sultat de convergence. e e e e e En particulier, il implique la convergence p.s. de toute martingale born´e. Le lemme suivant ´tend ce e e r´sultat aux sous-martingales born´es. e e Lemme 4.12. Soit (Xn ) une sous-martingale born´e par un r´el K. Alors (Xn ) converge p.s. e e Preuve: Ecrivons Xn = Mn + An la d´composition de Doob de la sous-martingale Xn . On a alors e E(An ) = E(Xn ) − E(Mn ) = E(Xn

pas comparables. Exercice 1.5. e Soit a ≤ b des r´els et fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues. On suppose e que pour tout x de [a, b], la suite fn (x) tend vers 0 en d´croissant. Montrer que la suite e fn converge uniform´ment vers 0 (lemme de Dini3 ). Montrer que si gn est une suite de fonctions continues positives sur [a, b] qui tend simplement en croissant vers une fonction b b continue g, alors a gn (t)dt → a g(t)dt. Corrig´. Il s’agit d’un exercice classique d’analyse. Raisonnons

repassant au complémentaire, on a ?Ω ⊆ τ(ℱΩ). Et comme précédemment, la tribu engendrée par ?Ω étant la plus petite tribu sur-ensemble de ?Ω, on a que τ(?Ω) ⊆ τ(ℱΩ), i.e par définition de ℬ(Ω) : ℬ(Ω) ⊆ τ(ℱΩ). On a montré la seconde inclusion. ∎ 1.3.3 Lemme : Soit G un ouvert de ℝ (non vide). Alors il existe une suite (] an, bn [)n∈ℕ , avec -∞ < an < bn < +∞, telle que : G = . 1.3.4 Notation: ℐb= l’ensemble des intervalles bornés de ℝ ℐg = { ]a,b], (a,b) ∈ ℝ²} ℐd = { [a,b[, (a,b) ∈ ℝ²} ℐo = { ]a,b],