Lemme de Fatou

eor` eme 15 (Convergence domin´ ee). Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables convergeant µp.p. vers f telle qu’il existe une fonction mesurable g v´erifiant sup fn ≤ g et gdµ < ∞. n≥1 Alors, lim n→∞ fn dµ = f dµ. Th´ eor` eme 16 (Lemme de Fatou). Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables positives. Alors, lim inf fn dµ ≤ lim inf n→∞ n→∞ fn dµ. La th´eor`eme de convergence domin´ee, utile tel quel, permet aussi d’obtenir ces deux r´esultats de continuit´e et de diff´erentiabilit´e

c a e e de la technique utilis´e pour les cr´er. e e 1.6.1 Les it´rations complexes e Fig. 1.26 – Gaston Julia (18931978) a perdu son nez alors qu’il ´tait soldat durant la premi`re e e guerre mondiale. Fig. 1.27 – Pierre Joseph Louis Fatou (1878-1929) a plusieurs contributions en math´mae tiques et en astronomie. En 1918, Julia publie ` l’ˆge de 25 ans un chef-d’oeuvre [13] de 199 pages qui le a a rendit c´l`bre dans le monde des math´matiques. Sept ans plus tard, Cremer r´dige un

. . . . 7.1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Tests d’hypothèse simple contre hypothèse simple 7.1.3 Tests asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Approche de Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Lemme de Neyman-Pearson . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Rapports de vraisemblance monotones . . . . . . 7.3 Tests du score et de Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Test du score . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Tests asymptotiques . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème de l’aiguille de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est appel´e loi de Poisson de param`tre λ. (On la note souvent aussi P(λ).) e e e Une variable al´atoire suivant la loi πλ est dite de Poisson de param`tre λ. e Lemme 5.1. — Pour tout entier k ≥ 1 fix´, on a : e limn n k λ n k 1− λ n n−k = e−λ λk . k! Le calcul de cette limite est banal et n’est pas reproduit ici. Le lemme dit essentiellement que si B(n, p) est une loi binomiale telle que les deux param`tres n et p sont li´s par la relation np = λ > 0, alors pour n grand e e n k n−k

l’instant n de cette stratégie et l’hypothèse de viabilité du marché ˜ n (φ) ≥ 0, pour tout entraîne que si cette valeur est positive à tout instant, c’est-à-dire si G ˜ N (φ) = 0. Le lemme suivant montre que, même sans l’hypothèse de n = 1, . . . , N, alors G ˜ ˜ N (φ) ∈ positivité des Gn (φ), on a encore G / Γ. Lemme 2.7 Si le marché est viable, tout processus prévisible (φ1 , . . . , φd ) vérifie : ˜ N (φ) ∈ G / Γ. ˜ N (φ) ∈ Γ . On a clairement une contradiction de la viabilité Démonstration : Supposons

solution primale admissible, p une solution duale admissible et c x = b p, alors x est une solution (primale) optimale (et p une solution duale optimale). Dualité forte En utilisant les propriétés des ensembles convexes, on peut montrer le lemme suivant Lemme 2.5.1 (Farkas). Soit A ∈ Rm×n et b ∈ Rm , alors une et une seule des propositions suivantes est vraie : i) il existe un x ∈ Rn , x ≥ 0 tel que Ax = b, ii) il existe un y ∈ Rm tel que A y ≥ 0 et b y < 0. A l’aide de ce résultat, on peut montrer

d’espaces. e e e En particulier, la σ-alg`bre bor´lienne sur Rd est la σ-alg`bre produit de d σ-alg`bres e e e e bor´liennes sur R : B(Rd ) = B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R) (d fois). e 2 Aω1 = {ω2 ∈ Ω2 , (ω1 , ω2 ) ∈ A} est un ´v´nement de A2 . e e Lemme 15 (Lemme de section) Soit A ∈ A1 ⊗ A2 . Pour tout ω1 ∈ Ω1 , la section De mˆme, pour ω2 ∈ Ω2 , la section A1 2 = {ω1 ∈ Ω1 , (ω1 , ω2 ) ∈ A} est un ´v´nement de e e e ω A1 . Preuve : Pour d´montrer la premier assertion, on applique le th´or`me 14

l’étudiant de s’entraîner, comme certains exercices du chapitre I. Il contient des résultats plus récents ou des preuves moins classiques que nous ne saurions citer tous, comme l’équation de Daugavet au chapitre VIII, la preuve par série de Neumann du lemme de Wiener ou les caractérisations de l’algèbre de Deddens au chapitre X, et les propriétés fines des contractions au chapitre VI. Précisons un point important : on donne d’abord tous les énoncés d’un chapitre, ensuite tous les corrigés des exercices