Lemme

des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé présenté comme plausible, mais

. . . . 4 4 9 12 14 15 17 2 Division euclidienne et cons´ equences 2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en base b . . 2.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Algorithme d’Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout 2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

matricielle : q = β i .V Une démonstration du théorème de l’arbitrage utilise un résultat essentiel : le lemme de Farkas. Rappelons tout d’abord quelques éléments d’analyse linéaire : Définition 1 Le système linéaire contraint : A.x = b, x ≥ 0 (2) S X s=1 β i .Vas , a = 0, ..., A s où A est une matrice m × n, et b un vecteur colonne, est dit cohérent s’il existe des solutions au système 2. Le lemme de Farkas est une condition nécessaire et suffisante caractérisant les systèmes linéaires cohérents :

il existe des entiers d1 et d2 tels que E(Fq) ∼= Z/d1Z⊕ Z/d2Z, avec d1|d2. 5Endomorphisme de Frobenius Définition 1.12. Soit φq : Fq −→ Fq x 7−→ xq l’endomorphisme de Frobenius. On définit l’application : φq : E −→ E (x, y) 7−→ (xq, yq) O 7−→ O. Lemme 1.13. Soit (x, y) ∈ E(Fq). 1. φq(x, y) ∈ E(Fq), 2. (x, y) ∈ E(Fq) si et seulement si φq(x, y) = (x, y), 3. φq est un endomorphisme. Preuve. Soient n, p tel que q = pn où p est premier et n un entier. La caractéristique de Fq est p. Nous avons donc

. . . ∨ Cn , n ≥ 0, où chaque Ci est une conjonction élémentaire. 4 Existence de la FND et de la FNC Théorème : Soit A une formule.  Il existe une formule A1 en FND telle que A1 ≡ A.  Il existe une formule A2 en FNC telle que A2 ≡ A. Lemme : Soit ∆ = {A1 , . . . , An } et F N C∆ = {E1 , . . . , En } où chaque Ei est une FNC de Ai . Pour chaque Ei de la forme Di1 ∧ . . . ∧ Dik on construit CEi = {Di1 , . . . , Dik }. Soit C∆ = 1≤i≤n CEi . Alors ∆ est satisfaisable ssi C∆ est satisfaisable

. . . . . . 4.1 D´finitions et propri´t´s ´l´mentaires . . . . . . . . e e e ee 4.1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.1.2 Impl´mentations d’un graphe . . . . . . . . e 4.1.3 Chemins, chaˆ ınes, circuits, cycles . . . . . . 4.1.4 Lemme de K¨nig . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.5 Graphes sans circuit . . . . . . . . . . . . . 4.2 Accessibilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.1 Algorithme de Roy-Warshall . . . . . . . . 4.2.2 Autres probl`mes d’accessibilit´ .

70 75 75 103 118 143 2 Division euclidienne et cons´quences e 2.1 Division euclidienne et d´composition en base b . . e 2.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Algorithme d’Euclide ´tendu et th´or`me de B´zout e e e e 2.4 Lemme de Gauss et cons´quences . . . . . . . . . . e 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Congruences 3.1 D´finition, premi`res propri´t´s e e ee 3.2 Crit`res de divisibilit´ . . . . . e e 3.3 Ordre d’un ´l´ment . . . . . . . ee

. , P a g e | 10 Approximation d’un problème elliptique par la méthode des volumes finis A est donc une matrice carrée d’ordre N dont le noyau est réduit à {0}. A est donc inversible, ce qui justifie l’existence et l’unicité de la solution. Lemme (Consistance des Flux) ∈ ∁ ([0; 1]) solution de l’´équation (1). On note Soit exact en et ⁄ dérivée première − ( =− ⁄ ⁄ ) ( ) ⁄ =− ⁄ le flux ⁄ le quotient différentiel qui approche la . Le flux est dit consistant s’il existe une constante

|Z1 + Z2|  |Z1| + |Z2| Lemme : Pour tous nombres complexes Z1 = r1 e iq 1 et Z2 = r2 e iq 2 , on a : |Re(Z1 Z2 )|  r1 r2. Preuve du lemme : |Re(Z1 Z2 )| = |Re(r1 r2 e i(q1 -q2 ) )| = | r1 r2 cos(q1 - q2)|  r1 r2. Et, en particulier : Re(Z1 Z2 )  r1 r2. Démonstration de l'inégalité triangulaire : |Z1 + Z2|2 = (Z1 + Z2) ( Z1 + Z2 ) = (Z1 + Z2)( Z1 + Z2 ) = Z1 Z1 + Z1 Z2 + Z2 Z1 + Z2 Z2 = r12 + (Z1 Z2 + Z1Z2 ) + r22 |Z1 + Z2|2 = r12 + 2 Re(Z1 Z2 ) + r22 Et d'après le lemme : |Z1 + Z2|2  r12 + 2

Ceci implique I (V > 0) = 0. P 4.6. Th´or`mes de convergence. Le Th´or`me ?? fournit un premier r´sultat de convergence. e e e e e En particulier, il implique la convergence p.s. de toute martingale born´e. Le lemme suivant ´tend ce e e r´sultat aux sous-martingales born´es. e e Lemme 4.12. Soit (Xn ) une sous-martingale born´e par un r´el K. Alors (Xn ) converge p.s. e e Preuve: Ecrivons Xn = Mn + An la d´composition de Doob de la sous-martingale Xn . On a alors e E(An ) = E(Xn ) − E(Mn ) = E(Xn