Lemme

l'on considère une équation diérentielle (E) y = f (t, y) où f : U → Rm est continue et U est un ouvert de R × Rm . initiales (t0 , y0 ) si et seulement si 1. y est continue et pour tout t ∈ I , (t, y(t)) ∈ U ; 2. et pour tout t ∈ I , t Lemme 8 Une fonction y : I → Rm est une solution du problème de Cauchy de données (1) y(t) = y0 + t0 f (r, y(r))dr. Pour résoudre (E), on va plutôt chercher à résoudre (1). On va d'abord montrer qu'une solution passant par (t0 , y0 ) ∈ U ne

transitions temporisés S1 et S2 , ε ε nous disons que S2 simule faiblement S1 si S2 simule S1 . De même, S1 et S2 sont dits faiblement ε ε bisimilaires si S1 et S2 sont bisimilaires. Le lemme suivant montre que la notion de bisimulation (même faible) est plus forte que l’équivalence de langages. Lemme 1.10. Soient deux systèmes de transitions temporisés S et S et une relation de simulation (éventuellement faible) R de S par S . Considérons des ensembles d’états finals Qf et Qf de S et S et

Les grammaires non contextuelles V. Les automates à piles VI. Les machines de Turing I. Mots et langages Plan I.1. Vocabulaire et Mot I.2. Langage I.3. Opérations sur les langages I.4. Propriétés des langages I.5. Définition des langages I.6. Le lemme d’Arden Leila Jemni Ben Ayed Théorie des Langages LFI 2 2009-2010 3 I.1. Vocabulaire et mot Définition 1. Alphabet: Un alphabet (ou vocabulaire) est un ensemble fini, non vide de symboles. On le note généralement X. Définition 2. Fermeture: Soit

première division est euclidienne, il faut justifier que pour tout n, 0 ≤ 1 < un (pas difficile, par monotonie). Si vous ne le faites pas, votre justification est incorrecte. Méthode 3 : une manière de s’en sortir est d’utiliser le lemme d’Euclide. En effet, d’après ce lemme, si a = bq + r alors pgcd (a,b) = pgcd (b,r) : on n’a pas besoin de savoir si cette égalité traduit une division euclidienne. Dans ces conditions, un +1 = 4un + 1 implique p gcd(un +1 , un ) = p gcd(un ,1) = 1 pour tout n. (c)

X = Rd et R = laRmesure de Lebesgue, nous dirons intégrabilité de Lebesgue et intégrale de Lebesgue, et on note f d = f (x)dx. On note par L1 (X; A; ; R) (ou simplement L1 ) l’ ensemble de toutes les fonctions f 2 M(X; A; R) qui sont intégrables. Lemme 1 Soit (X; A; ) un espace mesuré et soit f1 ; f2 ; g1 et g2 2 L1 (X; A; ; R) telles que f1 f2 = g1 g2 . + Alors Z Z Z Z f1 d f2 d = g1 d g2 d . Proposition 17 Soit (X; A; ) un espace mesuré. Alors L1 (X; A; ; R) est R espace vectoeiel. De plus, si

Cna pour tout n ≥ 1. 2.b) Commençons par un Lemme 1. Pour tout n ≥ 0, 1+ Démonstration. On a mj 1 + d’où mj 1 + puisque mj 1 + n mj n mj n mj n mj ≥ n+1 . mj n = n, mj > mj · ≥n+1 est un entier. 3 Procédons alors par récurrence. Il est clair que a0 ≥ 1. Soit n ≥ 1. Supposons le résultat vrai aux rangs < n. Alors, q an ≥ j=1 q rj 1 + n mj a a puisque n mj < n, ≥ j=1 rj n+1 mj d’après le lemme, ≥ (n + 1)a par définition de a. Finalement

. En effet : Lemme 1.3.1 Soit g : {0, . . . , n} → R une fonction telle que, pour tout θ ∈ Θ = [0, 1], Eθ [g(Sn )] = 0. Alors g est la fonction nulle. ´monstration Remarquons que : De n Eθ [g(Sn )] = s=0 n s θ (1 − θ)n−s g(s). s Par cons´equent, Eθ [g(Sn )] est un polynˆome en la variable t = θ/(1 − θ), identiquement nul si t ∈ R (ou de fa¸con ´equivalent θ ∈ (0, 1)). Les coefficients de ce polynˆ ome sont donc n´ecessairement tous nuls. Il suit bien du lemme que, si T est

Lebesgue. On remarque que chacun des ej est Htj -mesurable. e Pour les fonctions ´l´mentaires, on pose, toujours par analogie avec la construction ee de l’int´grale de Lebesgue2 : e T N −1 φ(t, ω) dBt (ω) = S j=0 ej (ω)[Btj+1 − Btj ](ω) Lemme 1 (Isom´trie d’Itˆ pour les fonctions ´l´mentaires). Soit φ une fonction ´l´e o ee ee mentaire born´e. Alors : e T 2 T E S φ(t, ω) dBt (ω) =E S φ2 (t, ω) dt D´monstration. Posons, pour simplifier les notations, ∆Bj = Btj+1 − Btj .

(puisque le logarithme est l'application réciproque de l'exponentielle qui est continue sur ). Mais celui-ci est hors programme. Nous allons donc procéder autrement. Avant tout, nous aurons besoin du lemme suivant, bien pratique : Lemme Pour tout réel x Î  * : + ln(x)  x - 1 Démonstration du lemme : S'il existait un réel x Î  * tel que : + ln(x) > x - 1 Alors, par stricte croissance de l'exponentielle, on aurait : x > e x-1 C'est-à-dire, en posant u = x - 1 : 1 + u > eu Ce

Ftj -mesurables. Pour les fonctions élémentaires, on dénit ainsi l'intégrale d'Itô : T Iφ (ω) = S φ(t, ω)dBt (ω) = j≥0 ej (ω)[Btj+1 − Btj ](ω) On a un premier résultat sur l'integrale d'Itô de certaines fonctions élémentaires : Lemme 2.1 vante : (Isometrie d'Itô). Soit φ une fonction élémentaire bornée. On a alors l'égalité suiT E S φ(t, ω)dBt (ω) 2 T =E S φ(t, ω)2 dt Démonstration. On pose ∆Bj = Btj+1 − Btj . Comme ∆Bi et ∆Bj sont indépendants pour