Lemme

utilise le lemme suivant, tr`s pratique, sur les in´quations diff´rentielles. e e e ´ ´ EQUATIONS DIFFERENTIELLES 5 Lemme 1 (Gronwall). Soit g : [t0 , t1 [×R+ → R+ une fonction continue. Soit ρ : [t0 , t1 [ → R une fonction d´rivable v´rifiant e e (4) n ρ(t) = g(t, ρ(t)) ˙ γ(t) < g(t, γ(t) ) ˙ pour tout t ∈ [t0 , t1 [ , γ(t) < ρ(t) γ(t0 ) ≤ ρ(t0 ) et soit γ : [t0 , t1 [ → R une fonction d´rivable v´rifiant e e Alors (5) pour tout t ∈ ]t0 , t1 [. On peut appliquer ce lemme dans la situation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyennes d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irrationnalité de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zéros d’une base de solutions d’une EDO . . . . . . . . . . Union finie de sous-espaces stricts . . . . . . . . . . . .

−3 ln(x + 3) = ln e9 x + 3 = e9   2,718... p x = e9 − 3 8100 Fonction logarithme néperien page 3 G. COSTANTINI 3) Représentation graphique de la fonction ln 1 1 2 e 3 −1 IV) Limites de références Lemme La représentation graphique de la fonction ln est toujours située sous la première bissectrice (y = x) : ln x < x pour tout x > 0 Démonstration : On considère la fonction ƒ définie sur I = ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = x − ln x. Sa dérivée ƒ' est définie sur

portent plusieurs noms : proposition (assertion importante, ` retenir), e e e a lemme (assertion utile pour la suite et qui m´rite d’ˆtre mise en ´vidence), corollaire (assertion d´coulant facilement e e e e d’un r´sultat pr´c´dent), fait (petit r´sultat utile ponctuellement), enfin on r´serve souvent le mot th´or`me pour e e e e e e e les r´sultats tr`s importants. e e Ce que vous devez retenir. Un th´or`me (proposition, lemme, . . . ) est une assertion vraie. Il faut d’abord e e comprendre l’assertion

relation : fAB = fA ◦ fB . PROP : soit A ∈ Mnp (K) dont les colonnes sont C1 , ..., Cp ; alors     x1 0 1.  ...  ∈ ker fA ⇔ x1 C1 + ... + xp Cp =  ...  xp 0 2. Im fA =Vect(C1 , ..., Cp ) D10 V) MATRICES CARRÉES INVERSIBLES. 1) Définitions. LEMME : si A et B sont deux anneaux isomorphes, alors le groupe des éléments inversibles de A est isomorphe au groupe des éléments inversibles de B. D11 DEF : une matrice carrée A ∈ Mn (K) est dite inversible si c’est un élément inversible de l’anneau Mn

le nombre d’occurrences d’une unité linguistique dans un corpus. Il peut être mesurée par deux unités ; le lemme ou la forme graphique. Cooccurrence / Co-fréquence Cooccurrence est l’apparition de deux unités linguistiques dans une fenêtre contextuelle définie autour de l’élément linguistique en recherche. La co-fréquence est donc le nombre de cooccurrences des unités linguistiques. Lemme Une unité canonique constituante du lexique dans une langue. Per exemple, les verbes sont a l’infinitif, les

. . . . . . . . . . . . . . . . 109 17. À la gloire des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 18. Un théorème de Pólya sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 19. Sur un lemme de Littlewood et Offord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 20. La fonction cotangente et l’astuce de Herglotz . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 21. Le problème de l’aiguille de Buffon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

constante C ∈ R indépendante de la solution exacte telle que l’erreur de consistance vérifie max |ri | ≤ C hp . i=1,...,N De plus, on dit que le schéma est consistant si lim max |ri | = 0. h→0 i=1,...,N Dans le cadre du schéma (2.1.6), on a le Lemme 2.2.7. Si la solution exacte u de (2.1.1) vérifie u ∈ C 4 (0, 1) alors le schéma (2.1.6) est consistant d’ordre 2. Précisément, on a |ri | ≤ h2 max |u(4) (x)|, 12 x∈[0,1] ∀ i = 1, . . . , N. (2.2.2) Démonstration. Puisque u ∈ C 4 (0, 1) on a le

Petite classe 7 5 Notons ti(x) la taille (= nombre de noeuds) et hi(x) la hauteur du sommet x après la i-ème opération d'union pondérée. On a t0(x) = 1 et h0(x) = 0. Lemme. On a ti(x) ≥ 2 hi(x) et hn(x) ≤ log2(n + 1). Preuve. (a) Si hi(x) = 0, alors ti(x) = 1 x (b) à suivre … X, Petite classe 7 5 Lemme. On a ti(x) ≥ 2 hi(x) et hn(x) ≤ log2(n + 1). x y Preuve (suite). (b) Si hi(x) > 0, soit y un fils de x. On a hi(y) = hi(x) - 1. Si y est devenu un fils de x lors

provoque des transitions bien définies jusqu’à être bloqué en cas de transitions manquantes, ou bien jusqu’à atteindre un certain état après la lecture complète du mot. On en déduit la propriété fondamentale des automates déterministes complets : Lemme 3.3 Soit A = (Vt , Q, T ) un automate fini déterministe complet. Alors, pour tout mot u ∈ u Vt∗ et tout état q ∈ Q, il existe un unique état q ∈ Q tel que q − A q . → En pratique, il peut être utile de rendre un automate complet en ajoutant un nouvel