Lemme

limites nulles puis cas général ) 13. TH. de passage à la limite sur une inégalité et TH des gendarmes :enoncés+démonstrations 14. TH sur les suites croissantes : énoncés + démonstrations 15. Suites adjacentes : définition + énoncés et démonstrations du lemme et du théorème fondamental 

amande. PROP : le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. D12 REM: cette proposition est souvent utilisée pour démontrer qu’une partie d’un ev est en fait un sev. b) Exemples. E4 c) Noyau et injectivité. → → LEMME : si f ∈ L (E, F ) et − ∈ F, alors la différence de deux solutions de l’équation d’inconnue − ∈ E : y x → → (E) : f (− ) = − x y est un élément du noyau de f. → REM : une autre façon de dire la même chose est de dire que si − est une solution particulière

contexte — est not´ C p (Ω). e De fa¸on plus g´n´rale, pour U ⊂ RN , on notera C p (U, Rn ) (resp. C p (U, Cn )) c e e l’ensemble des restrictions ` U d’applications de classe C p sur un ouvert de RN a contenant U et ` valeurs dans Rn (resp. Cn ). a Lemme 1.1.1 (Schwarz) Soit Ω ouvert de RN . Si φ ∈ C 2 (Ω), alors, pour tous k < l = 1, . . . , N , on a ∂2φ ∂2φ = sur Ω . ∂xk ∂xl ∂xl ∂xk Nous utiliserons syst´matiquement les notations suivantes pour les d´riv´es e e e partielles d’une fonction f de classe

norme entrainent les propri´et´es (a, b, c) de la distance associ´e. Si E = Rn , nous aurons l’occasion d’utiliser la norme x 2 = | x1 |2 + . . . + | xn |2 , la norme x 1 = |x1 | + . . . + |xn |, ainsi que la norme x ∞ = sup(| x1 |, . . . , | xn |). Lemme 1.2 Une distance d sur E v´erifie pour tout (x, y, z) ∈ E 3 l’in´egalit´e |d(x, z) − d(y, z)| d(x, y) Nous avons (par l’in´egalit´e triangulaire) d(x, z) − d(y, z) d(x, y) et de mˆeme d(y, z) − d(x, z) d(y, x), d’o` u (par sym´etrie) |d(x, z) − d(y

est appel´e loi de Poisson de param`tre λ. (On la note souvent aussi P(λ).) e e e Une variable al´atoire suivant la loi πλ est dite de Poisson de param`tre λ. e Lemme 5.1. — Pour tout entier k ≥ 1 fix´, on a : e limn n k λ n k 1− λ n n−k = e−λ λk . k! Le calcul de cette limite est banal et n’est pas reproduit ici. Le lemme dit essentiellement que si B(n, p) est une loi binomiale telle que les deux param`tres n et p sont li´s par la relation np = λ > 0, alors pour n grand e e n k n−k

Or π π −R sin t e dt = 2 02 e−R sin t dt et sur le segment 0, π , on a sin t ≥ 2t d'où la 2 π 0 π −R sin t π majoration e dt ≤ R et le résultat s'en déduit en utilisant l'hypothèse sur 0 le comportement de f à l'inni. Lemma 3.3. (Troisième lemme de Jordan) Soit f une fonction méromorphe au voisinage de l'origine et possédant un pôle simple à l'origine. Soit Γr : t ∈ [θ1 , θ2 ] → reit . Alors r→0 Démonstration. lim f Γr = i (θ2 − θ1 ) × Res0 (f ) a z voisinage de l'origine

INRIA, antonino.zanette@uniud.it B. Humez, Société Générale 5 Prérequis et bibliographie Les étudiants sont supposés avoir des notions – en probabilités : martingale, EDS, processus de Markov. – en analyse fonctionnelle : espaces de Sobolev, lemme de Lax Milgram, formulation variationnelle. Références [1] Y. Achdou, O. Bokanowski, and T. Lelièvre. Partial differential equations in finance, 2007. CERMICS 2007-363 report. [2] Y. Achdou and O. Pironneau. Computational methods for option pricing

1 Corrigé de la série 3 d’Analyse 3 SMP - S3 (2015-16) Exercice 1 Avant de corriger les exercices, notons que z0 est un pôle d’une fonction f s’il existe un entier n ≥ 1 tel que : lim z→z0 (z − z0)n f(z) 6= 0 et lim z→z0 (z − z0)n+1 f(z) = 0 Lorsque n existe, il est unique. L’entier n est appelé ordre du pôle z0. Par exemple, la fonction f(z) = 1 zk (avec k ≥ 1) admet z0 = 0 comme pôle d’ordre k, car : lim z→0 (z − 0)k f(z) = 1 6= 0 et lim z→z0 (z − 0)k+1 f(z) = 0 Si f(z) = P (z) Q(z) où P et Q

déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des postulats provisoirement admis. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé plausible, mais qui n'a pas encore

logique (compos´e e e e dans un langage donn´) qui a un sens, autrement dit qui est susceptible d’ˆtre vraie ou fausse. e e Par exemple « 1 = 8 » et « x = 2 » sont des assertions alors que « 1 = » n’en est pas une. On appelle th´or`me (ou propri´t´, lemme, ou encore proposition suivant le degr´ d’impore e ee e tance) une assertion vraie. Dans ce cas, on note « P » au lieu de dire « P est vraie » . ` 1.1.2. Op´rations sur les assertions. — A partir d’assertions, on peut en construire de e nouvelles `