Lemme

simples avec des coefficients inconnus, on calcule ensuite ces coefficients ` l’aide ee a des lemmes qui suivent. 61 La partie polynˆmiale de la d´composition simple s’appelle la partie enti`re de la o e e fraction rationnelle ; elle se calcule ainsi : LEMME: Soit F = P/Q une fraction rationnelle et soit E le quotient de la division de P par Q, i.e. P = EQ + R avec deg(R) < deg Q alors E est la partie enti`re de la fraction e F. D´monstration: En effet, en r´duisant au mˆme d´nominateur la somme des ´l´ments

2.5.3 2.5.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Crit`re de Cauchy pour les suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Le lemme de Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Propri´t´s des fonctions d’une variable r´elle e e e 3.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 3.2 Continuit´ en un point

(F). Selon son e importance, l’assertion porte le nom de th´or`me, propoe e D´f 1.5. – La contradiction : P et (non P) est toujours e sition (jug´e moins importante), corollaire (cons´quence e e FAUSSE ; imm´diate d’une assertion d´j` d´montr´e), lemme (assere ea e e – La tautologie : P ou (non P) est toujours VRAIE ; tion pr´paratoire ou interm´diaire dans la d´monstration e e e – La n´gation d’un ”et” est un ”ou” : e d’assertions plus importantes). non(P et Q) ⇐⇒ (non P ) ou (non Q); D´f 1.2. Deux

2007. I. Topographie textuelle et segments répétés dans Lexico 3 Adossés au dictionnaire de fréquences, les traitements lexicométriques s’attachent avant tout à décompter le nombre d’occurrences d’un terme ou d’une unité linguistique quelconque (lemme, code grammatical, etc.) dans le corpus, et, sous condition que celui-ci soit découpé en parties, à étudier la distribution fréquentielle du terme ou de l’unité linguistique à l’intérieur des sous-parties constituées. La plupart des calculs –dont le

catégories des éléments similaires ou ressemblants. Certains classements semblent farfelus comme celui de l’encyclopédie chinoise de Borgès (cité par Foucault). Contre-exemple local ou global : Un contre-exemple est local quand il va à l’encontre d’un lemme d’une preuve et est global quand il contredit la conjecture principale elle-même. Dichotomie : Démarche que Platon dans ses dialogues fait utiliser à Socrate et qui consiste à définir une chose en procédant à une série d’oppositions. Illusion : Erreur

fonction de r´epartition, ce qui signifie : ∀x ∈ R, FX (x) = FY (x). (3.3) Admettons provisoirement le lemme suivant : Lemme 3.5 Si X est une v. a. discr`ete de fonction de r´epartition F , on a : ∀x ∈ R, P (X = x) = F (x) − F (x− ) = F (x) − lim+ F (x − ε). (3.4) ε→0 D’apr`es (3.3) et (3.4) on a donc P (X = x) = P (Y = x) pour tout x ∈ R. Il en r´esulte que X et Y ont mˆeme loi. Preuve du lemme 3.5 : On remarque que pour tout x ∈ R et tout n ∈ N∗ , P (x − 1 1 1 < X ≤ x) = P (X ≤ x) − P (X ≤ x

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Factorisation de polynômes du deuxième degré . . . . . . . . 5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle 5.5 Factorisation de polynômes de degré supérieur à deux . . . . 5.6 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

alors une cons´ quence directe du th´ or` me pr´ c´ dent. e e e e e e 2.2.2. Quelques fonctions de r´ f´ rence. ee +∞ Lemme 2.11. Pour a > 0 et α ∈ R, l’int´grale e a α > 1. D´ monstration. Pour x ∈ [a, +∞[, F(x) = e ln x − ln a si α = 1 d’ou le r´ sultat. e ` dt converge si et seulement si tα x −α 1 1 t dt s’´ crit α−1 ( aα−1 e a Lemme 2.12. Pour −∞ < a < b < +∞ et α ∈ R, l’int´grale e seulement si α < 1. 1 − xα−1 ) si α b dt a (b−t)α 1; converge

processus de Wiener plus général dont la seule différence est que les paramètres a et b sont en fonction de la variable x et du temps t. dx = a(x,t).dt + b(x,t).dz (4) Cette équation différentielle est utilisée pour déterminer le résultat du lemme d’Itô : df= ∂f∂x a + ∂f∂t + 12 ∂2f∂x2 b2dt+ ∂f∂x b.dz (5) La formule (5) est utilisée pour déterminer l’équation aux dérivées partielles de Black, Scholes et Merton. Cet outil montre que le mouvement brownien géométrique est solution de l’équation

est paire −1 si σ est impaire. Exemple 3.9. Classification des permutations de {1, 2, 3} : Permutation Nbre d’inversions (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) 0 1 1 2 2 3 Parité paire impaire impaire paire paire impaire Lemme 3.10. Soit n ≥ 1, i, j ∈ {1, . . . , n} avec i < j et σ ∈ Sn . Posons σ = (σ(1), . . . , σ(i − 1), σ(j), σ(i + 1), . . . , σ(j − 1), σ(i), σ(j + 1), . . . , σ(n)). Alors sign(σ) = −sign(σ ). «Démonstration» : Nous illustrons la méthode de la démonstration