Lemme

ressemblance est plus profonde : cet anneau est euclidien, c'est-à-dire qu'il dispose d'une division euclidienne semblable à celle de l'arithmétique des entiers classiques. Les outils de l'arithmétique usuelle sur Z, comme le théorème de Bachet-Bézout, le lemme d'Euclide, le théorème fondamental de l'arithmétique ou en plus sophistiqué le petit théorème de Fermat sont tous des conséquences de la division euclidienne. Elle offre des propriétés analogues pour « l'arithmétique du nombre d'or ». Cette analogie

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e

e e premier entre eux. 3. Sens ⇐. Supposons A, B premiers entre eux. Montrons que f est injective. Soit P ∈ E tel que f (P ) = 0. Donc la division euclidienne s’´crit : e AP = BQ + 0. Donc B divise AP . Comme A et B sont premiers entre eux, par le lemme de Gauss, alors B divise P . Or B est de degr´ n + 1 e et P de degr´ moins que n, donc la seule solution est P = 0. Donc f e est injective. Comme f : E −→ E et E est de dimension finie, alors f est bijective. Correction 12. 1. Montrons que si ϕ est

. (X − zk )αk , où z1 , . . . , zk sont des complexes deux à deux distincts et α1 , . . . , αk sont des entiers naturels non nuls. • Enoncé 4. Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1. • Enoncé 5. C est algébriquement clos. Lemme. Soit P ∈ R[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. Si z est une racine de P dans C, alors z est racine de P avec même ordre de multiplicité. Théorème (décomposition en produit de facteurs irréductibles dans R). Soit P ∈ R[X] un polynôme de

sont les axiomes. Sinon la v´eracit´e d’une assertion doit r´esulter d’une d´emonstration. D´ efinition Les assertions d´emontr´ees (les r´esultats des d´emonstrations) sont appel´ees, suivant leur importance, th´eor`emes ou propositions. Un lemme est un r´esultat pr´ealable utile `a une d´emonstration plus cons´equente. Un corollaire est une assertion vraie qui d´ecoule d’une d´emonstration pr´ec´edente. I.2 Op´ erations sur les assertions Des “op´erations” permettant de cr´eer de

d’espaces. e e e En particulier, la σ-alg`bre bor´lienne sur Rd est la σ-alg`bre produit de d σ-alg`bres e e e e bor´liennes sur R : B(Rd ) = B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R) (d fois). e 2 Aω1 = {ω2 ∈ Ω2 , (ω1 , ω2 ) ∈ A} est un ´v´nement de A2 . e e Lemme 15 (Lemme de section) Soit A ∈ A1 ⊗ A2 . Pour tout ω1 ∈ Ω1 , la section De mˆme, pour ω2 ∈ Ω2 , la section A1 2 = {ω1 ∈ Ω1 , (ω1 , ω2 ) ∈ A} est un ´v´nement de e e e ω A1 . Preuve : Pour d´montrer la premier assertion, on applique le th´or`me 14

p/q 2 = p²/q² p² = 2q² Un entier naturel n est pair s'il peut s'écrire sous la forme n = 2k avec k entier naturel. q est un entier naturel non nul. Donc q² est aussi un entier naturel non nul. D'où p² entier naturel pair. La démonstration d'un lemme est ici nécessaire : montrons que pour tout n entier naturel, n² pair implique que n est pair. La contraposée de cette assertion est : pour tout n entier naturel, n impair implique que n² est impair. Ce que l'on démontre facilement : pour tout n entier

sur les symboles, mais je vous rappelle qu’ici c’est moi le chef, que même si « les maths c’est l’ordre » je peux me permettre une mise en forme anarchique ! 1.5. SUPERTHÉORÈMES Théorème 1 π est irrationnel. PREUVE : Montrons d’abord ce petit lemme : cheval oiseau 11 = π. En effet : l · vache l·β·π cheval = = . oiseau oiseau βl On a en effet utilisé, d’une part, la commutativité du produit (c’est-à-dire le fait que xy = yx), puis le fait qu’une vache soit une bête à pis (βπ), et un oiseau

Université de Douala Ecole Nationale Supérieure Polytechnique de Douala Equations aux Dérivées partielles Quelques implémentations avec Python Année académique 2021-2022 Dr.rer.nat. Patrick Njionou, S. Ph.D. in Mathematics iEARN Master Teacher, USA patrick.njionou@aims-cameroon.orgTable des matières 1 Rappels sur les séries de Fourier 1 1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 1 A1 0 B C : B C C: : A=B B C @ A : 0 Ar Avec les considérations ci-avant, on dit que u est somme directe des ui et on écrit : r u = ui : i=1 K o¢ G e rm a in A B A L O 9 U F R -M I 1.1. POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES r i=1 Lemme 1.17 : On suppose que E = On note ui = u jEi la restriction de u à Ei : Alors on a : r Q Pu = Pui : det u = Preuve : i=1 r Q Ei et soit u 2 L(E) tel que u(Ei ) Ei ; 8i 2 1; n: det ui : i=1 Notons que ui 2 L(E): Soit Bi une base de