Lemme

est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une théorie.), proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est

2.5 : Circuit de longueur positive Ecrivons les contraintes correspondantes : t1 + d1 ≤ t2 t2 + d2 ≤ t3 t3 + d3 ≤ t1 En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante : d1 + d2 + d3 ≤ 0 On peut montrer le résultat suivant : Lemme 2.1 : Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et seulement si le graphe associé ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive. Remarquez qu’un cycle avec une somme des

Rêve D'Orient: La Conquête De L'empire Perse Un Autre Mythe, Une Autre Réalité De L'Orient, J. Maisonneuve, 2008. J, Schmidt, Alexandre Le Grand. Gallimard, 2009. P. Schneider, Les éléphants de guerre dans l'Antiquité - IVe-Ier siècles avant J.-C, Lemme Edit, 2015. J, Trinquier, « 11 - Alexandre au miroir des rois indiens : le développement du livre VIII des Histoires d’Alexandre consacré aux souverains de l’Inde », Mathilde Mahé-Simon éd., L'Histoire d'Alexandre selon Quinte-Curce. Armand Colin,

plus loin » que les entiers naturels7 , tous deux méritent le qualificatif de « fini ». Ceci équivaut encore au principe d’Archimède, (∀x > 0)(∀y > 0)(∃n ∈ N)(x ≤ ny) (principe qui n’est pas dû à Archimède, que les Grecs connaissaient sous le nom de « lemme d’Eudoxe »). Ou encore à la densité de Q dans R. Ces principes, essentiels pour l’analyse réelle, traduisent le fait que N est notre « règle » servant à mesurer, et suffisante en cela ; c’est notre infini « inachevé ». +∞ De même, dans l’écriture

82 83 . . . . . . . 85 85 91 93 93 96 97 100 8 Somme de v.a. ind´ ependantes 8.1 Somme de deux v.a. ind´ependantes . 8.2 Convergences probabilistes . . . . . . 8.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . 8.3.1 Loi faible des grands nombres 8.3.2 Lemme de Borel-Cantelli . . . 8.3.3 Loi forte des grands nombres . 8.4 Th´eor`eme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´v´nements. Il est donc l´gitime e e e e e de parler de la probabilit´ de C. Nous allons montrer que P (C) = 1. e e e a 4e pas : Nous venons de passer d’une infinit´ non d´nombrable de ε ` une suite (εj ). Le lemme suivant va nous permettre de travailler avec une seule valeur de ε. Lemme 6.6 Si (Aj )j∈N est une suite d’´v´nements ayant chacun une probabie e lit´ 1, alors leur intersection a aussi une probabilit´ 1. e e Preuve : Par passage au compl´mentaire, il suffit de prouver que la r´union

´v´nements. Il est donc l´gitime e e e e e de parler de la probabilit´ de C. Nous allons montrer que P (C) = 1. e e e a 4e pas : Nous venons de passer d’une infinit´ non d´nombrable de ε ` une suite (εj ). Le lemme suivant va nous permettre de travailler avec une seule valeur de ε. Lemme 6.6 Si (Aj )j∈N est une suite d’´v´nements ayant chacun une probabie e lit´ 1, alors leur intersection a aussi une probabilit´ 1. e e Preuve : Par passage au compl´mentaire, il suffit de prouver que la r´union

ces ´v´nements. Il est donc l´gitime e e e e e de parler de la probabilit´ de C. Nous allons montrer que P (C) = 1. e e e a 4e pas : Nous venons de passer d’une infinit´ non d´nombrable de ε ` une suite (εj ). Le lemme suivant va nous permettre de travailler avec une seule valeur de ε. Lemme 6.6 Si (Aj )j∈N est une suite d’´v´nements ayant chacun une probabie e lit´ 1, alors leur intersection a aussi une probabilit´ 1. e e Preuve : Par passage au compl´mentaire, il suffit de prouver que la r´union e e

´v´nements. Il est donc l´gitime e e e e e de parler de la probabilit´ de C. Nous allons montrer que P (C) = 1. e e e a 4e pas : Nous venons de passer d’une infinit´ non d´nombrable de ε ` une suite (εj ). Le lemme suivant va nous permettre de travailler avec une seule valeur de ε. Lemme 6.6 Si (Aj )j∈N est une suite d’´v´nements ayant chacun une probabie e lit´ 1, alors leur intersection a aussi une probabilit´ 1. e e Preuve : Par passage au compl´mentaire, il suffit de prouver que la r´union

1)h) + f (a + kh)) 2 k=1 n−1 (b − a) b−a f (a) + f (b) + 2 ∑ f (a + k ) . 2n n k=1 Comme dans le cas de la méthode des rectangles, il s’agit d’évaluer l’erreur E, commise en remplaçant l’intégrale de f par cette somme . On a besoin d’un lemme : 3.6.2 Lemme. Soit f une fonction de [u, v] dans R, deux fois dérivable sur [u, v] et telle qu’il exite α , β ∈ R tels que : ∀t ∈ [u, v] , α ≤ f ′′ (t) ≤ β . Alors : α (v − u)3 v − u f (u) + f (v) − ≤ 12 2 v u β (v − u)3 f (t) dt ≤ . 12 64