Liberté Conditionnelle

et de la santé Statistique Probabilités Frédéric Mauny - 20 septembre 2012 © F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 1 Plan du cours 1. Introduction et rappels 2. Probabilités – – Événements et probabilités Probabilités conditionnelles 3. Application à l’évaluation d’un test clinique – – – Principes Sensibilité , spécificité VPP, VPN 2 © F. Mauny - UFR SMP – Université de Franche-Comté 1 27/09/2012 Statistique(S) • Les statistiques : dénombrement/comptage

loi Normale Echantillonage Population Echantillon Chapitre 1 : Notions, Propriétés et règles Le chapitre comporte 3 sections : Définitions de la notion de probabilité, Probabilité totales, Fonction de probabilité conditionnelles et Notion d'indépendance. I Définition de la notion de probabilité 1) Définition usuelle La probabilité est usuellement visualisée comme le degré de confiance que l'on place dans la réalisation d'un événement. Ainsi, si la probabilité

probabilité. (il sera incomplet pour l'instant) 2°/ a) Traduire par une phrase l'événement M ∩ S, puis calculer sa probabilité. b) L'enquête montre que 72 % des clients de l'agence sont satisfaits. Calculer P(A∩S). c) En déduire la probabilité conditionnelle PA(S). (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible) puis compléter l'arbre. 3°/ Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait. Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie. Déterminer

probabilités conditionnelles et l’indépendance. 3.1 Définition A étant un événement quelconque de probabilité non-nulle. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant , la fonction tel que 3.2 Les propriétés. 3.2.1 Les propriétés communes Axiomes : 1 2- P ( ,P( ) ≥0 )=1 3- , Si Démonstrations : 1- P ( 23→ On regarde s’ils peuvent se produire simultanément : → Axiome trois. → Tous les théorèmes sont donc valables pour les probabilités conditionnelles : 3

= P(A) * PA(B) Réunion de A et B : réalisation de A OU B = P( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Loi de Morgan : Equiprobabilité : L’espace Ω est dit équiprobable si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité. Probabilité Conditionnelle : PA(B)= P(A∩B) / P(A) Indépendance : Deux évènements sont indépendant ssi P(A∩B ) = P(A)*P(B) Formule des probabilités totales : P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) Formule de Bayes : ( PA(D)*P(A) ) / ( P(D) = PA(D)*P(A) +

Exercices- Probabilités conditionnelles et variables aléatoires - Corrigé Métropole – Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces

l’urne F contenant 3 boules blanches et 2 boules noires. On peut représenter cette expérience par l'arbre pondéré ci-dessous : 1/3 1/2 B p(P∩B) = 1/6 N p(P∩N) = 1/3 B p(F∩B) = 3/10 N p(F∩N) = 1/5 P 2/3 3/5 1/2 F 2/5 b. Probabilité conditionnelle Exercice n°6 : En fin de 1eS, chaque élève choisit une et une seule spécialité en terminale suivant les répartitions ci –dessous : 4 Probabilités – Terminale S Par spécialité : Mathématique s 40% Sciences Physiques 25% Sexe de l’élève selon

10 C H A P I T R E Probabilités conditionnelles Introduction 1. Programme Contenus Conditionnement, indépendance Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Capacités attendues • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. • Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer des probabilités. Notation PA ^Bh . • Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l’univers. Indépendance de deux

L’application p est une probabilité uniforme si tous les événements élémentaires de  Ω   sont  équiprobables    Conséquence :pour tous événement A ;  p(A) = card(A)   card(Ω) Probabilité conditionnelle  Définition  DOC4MAMATRC00011    Page 1  http://www.najah.com    On désigne par A et B deux événements de  Ω  tels que p(B)  ≠ 0  La  probabilité conditionnelle de A par B notée p(A / B), est définie par p(A/B) =  p(A ∩ B)   p(B) Ce qu’on doit retenir   1) Pour tous A et B événements de  Ω   p(B)  ≠ 0  et p(  B ) ≠ 0  

B∩C = …….. • Comment fait on pour trouver la probabilité d’un événement ? P= ……. / ………… • Comment prouve t’on que deux événements sont indépendants ? • Enoncer la formule des probabilités totales • Probabilités conditionnelles Pa(B) = ….. / ……… 2) Exercices Exercice 1 À la fête de son club sportif, Jean tient un stand dans lequel il propose le jeu suivant. Le joueur tire une carte d'un jeu comportant 32 cartes dont 12 figures (4 rois, 4 dames, 4 valets).