Liberté Conditionnelle

succès au terme de n épreuves est définie par : ✓ ◆ n k p(X = k) = p (1 p)n k où k 2 N tel que 0  k  n k On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p Propriétés : E(X) = np V (X) = np (1 p) p (X) = np (1 p) II - PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 1 - Probabilité d’un évènement : Définition : Soit A et B deux évènements tels que p(A) 6= 0 . La probabilité de B sachant A est le nombre noté p(A \ B) pA (B) défini par pA (B) = p(A) Remarques : pA (A) = 1 pA (?) = 0 pA (⌦) = 1 ¯ pA (B)

CHAPITRE 4 – CONDITIONNEMENT Variables aléatoires discrètes - Probabilité conditionnelle – Arbre pondéré et calculs de probabilités . I – Variables aléatoires discrètes 1. Loi de probabilité d’une variable aléatoire : Définition : Ω est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue. Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.  On gagne 5€ chaque fois que l’on obtient Pile  On

il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma. On note PB(A) la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé. 1. Un client achète une tablette de chocolat. On considère les événements suivants : G = "le client achète une tablette gagnante" U = "le client gagne exactement une place de cinéma"

Plaidoyer : Les libérations conditionnelles. Vous  aurez  sans  doute  entendu  parler  de  Michelle  Martin.  Elle  a   été  libérée sous  condition  il  y  a  peu,  et  cela  a  d’ailleurs  entrainé   les   foudres  de  la  presse  et  de  la  population.  Mais  que  croyez  vous  savoir  ?  La  vérité  ?Les  idées  reçues  à  propos  de  la  libération  conditionnelle  ne  sont  que  des  mensonges  !  En  effet,  la  libération  conditionnelle  a  de  nombreux  avantages  pour  le  

CONDITIONNEMENT INDEPENDANCE 1°) Probabilité conditionnelle 1-1 Exercice Dans un lycée de 1000 élèves , 45 % des élèves sont des filles , 55 % des garçons . Parmi les filles , 30 % sont des internes et 70 % des externes Parmi les garçons , 60 % sont internes et 40 % externes a) Représenter cette situation par un arbre b) Calculer la probabilité de tirer , dans le fichier élève de tous les élèves du lycée ,  une fille externe  un élève externe c) On tire le fichier d’un élève et on constate qu’il

événements incompatibles : pHA › BL = 0, et événements indépendants : pHA › BL = pHAL µ pHBL. Considérons un événement B dont la réalisation dépend de l'intervention de l'une des causes : A1 , ..., Ai , ..., An . Soit pHB ê Ai L la probabilité conditionnelle de B, si c'est la cause Ai qui intervient. Et soit pHAi L la probabilité d'intervention de Ai , appelée probabilité a priori de Ai . (1.7) Le théorème de Bayes, appelé aussi théorème de la probabilité des causes, calcule la probabilité pHAi

arbre pondéré (en probabilité conditionnelle) ? Une chose simple à mettre en place, que vous ne faites pas toujours… on lit l’énoncé et on fait un recueil des données : en général on vous donne des p(A), p(B) … p A ( B ) … Comment calculer une probabilité p(E) (cas discret) ? On regarde s’il elle est donnée dans l’énoncé. On applique la formule p ( E ) = card ( E ) en dénombrant tous les cas favorables à E. card (Ω) Dans le cadre des probabilités conditionnelles, on applique la formule des probabilités

Sujet 1 ( BAC S ) Exercice 1 : (Probabilités conditionnelles) Un gardien de but doit faire face, lors d’une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.Les expériences précédentes conduisent à penser que : - S’il a arrêté le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant (le (n+1)-ième) est 0,8 ; - S’il a laissé passer le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant est 0,6 ; - La probabilité pour qu’il arrête le premier tir est 0,7. Dans tout

. . . 2.1.2.2. Espaces probabilisés discrets . . . . . . . . . . . . 2.1.2.3. Propriétés élémentaires des probabilités . . . . . . 2.1.2.4. Ensembles, Événements négligeables . . . . . . . 2.2. Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . 2.2.1. Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.1. Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.2. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Événements indépendants . . . . . . . . .

noté Α ) • On parle sur l’échelle [0,1] mais on peut évidemment parler en % p.ex. 15% = 15/100 = 0.15 et 100% = 100/100 = 1 2. Probabilité Conditionnelle Schéma 2 Au lieu de regarder l’univers E on peut se limiter à une portion de cet univers – par exemple à la partie B ! le dénominateur est différent la notation Pr(A | B) se lit probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé, ou étant donné qu’on est dans B Pr(A | B) = nombre de points dans A et B Pr(A et B) = nombre de points