LIM

LIM alias “Salim lakhdari” ,né en Juillet 1981 à Boulogne-Billancourt, est un rappeur français et producteur. Il débute sa carrière de rap en 1990 à l'âge de 10 ans avec le groupe Mo'vez Lang,un groupe qui était constitué de ses amis et voisins Boulox Force (Houcene Marega) et Cens Nino (Djibi Diop). En 1994, il participe à la tournée européenne des « Sages poètes de la Rue ». La première apparition discographique a lieu en 1995 dans les Cool Sessions 2 de Jimmy Jay avec le morceau « Poison juvénile

d’´equivalence et celle de pr´epond´erance. Pour le moment on r´evise un peu les limites. Carte de visite de la limite Notre construction lim attend une fonction f et un nombre a et retourne (pas toujours) un r´eel. La fonction f n’est pas forc´ement partout d´efinie, le nombre a peut ˆetre infini, ainsi que la limite, ce qu’on r´esume en ´ecrivant : lim : (R → R⊥ ) × R → R⊥ (f , a) → limx→a f (x). Il y a une d´efinition avec des epsilons... Vocabulaire Au lieu de ”on a limx→a f (x) = L” on

dérivé de f en a. Si x∈ I, M(x;f(x)) La corde (AM) « tend » vers la tangente lorsque M→A. Son coefficient directeur tend vers f'(a) lorsque x tend vers a. On note : lim f(x)−f(a) = f′(a) x−a x→a • si h=x-a : lim f(a+h)−f(a) h h→0 = f′(a) Exemple : f(x)=x² f(x)−f(a) x−a = x2 −a2 x−a = a∈ ℝ avec x≠ a (x−a)(x+a) x−a =x+a lim x→a f(x)−f(a) x−a = 2a f ′ (a) = 2a 2) Formules de dérivation (cf fiche) (uv)'=u'v+uv' Montrons par récurrence que si n∈ℕ* : (un)=nun-1u' Pn « (un)=nun-1u' »

éventuelle en − ∞ de chacune des fonctions suivantes : 4) f x x( ) = − 3 5) f x x ( ) = +5 1 6) f x x( ) = − Déterminez les limites suivantes 7) lim ( ) x x x→+∞ + −2 1 1 8) lim( ) x x x x→ > − + 0 0 2 4 1 9) lim ( ) x x x →−∞ − + −2 3 10) 4 3lim −−∞→ xx 11) 2 lim 32 x x x →+∞ − + 12) ( )lim 1 x x x →+∞ − + 13) ( )( )lim 3 4 t t t →−∞ − − 14) 1lim 3 x x x→−∞  +    Etudier le comportement de f lorsque x tend vers a avec : 15) f x x a( ) ,= − = 1 2 2 16) f

vers +∞ si et seulement si tout intervalle ]λ; +∞[ (λ ∈ R) contient tous les termes de la suite (un ) à partir d’un certain rang n0 . On note alors lim un = +∞. n→+∞ 2. Soit (un ) une suite de nombres réels. On dit que la suite (un ) tend vers −∞ ou encore qu’elle diverge vers −∞ si et seulement si la suite (−un ) tend vers +∞. On note alors lim un = −∞. n→+∞ Remarque : Dire qu’une suite a pour limite +∞ signifie que tout intervalle de la forme ]a; +∞[ contient tous les termes de la suite

; +∞ . 2   ln(x + 3) + ln(2x + 1) = ln[(x + 3)(2x + 1)] = ln(2x2 + 7x + 3) pour x ∈ − http://nathalie.daval.free.fr -3- BTS DOMOTIQUE Fonctions 2008-2010 Propriété 2 On a les limites importantes suivantes : o lim ln x = −∞. x→0+ o x→+∞ lim ln x = +∞. Conséquence : La droite x = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D’où le tableau de variations et la courbe : 0 1 + +∞ f −∞ signe − 0 + +∞ 2 1 n(x) y=l x f ′ (x)

ln(3)]. 2 2 2 ➔ ln ➔ ln(x + 3) + ln(2x + 1) = ln[(x + 3)(2x + 1)] = ln(2x2 + 7x + 3) pour x ∈ − http://nathalie.daval.free.fr 1 ; +∞ . 2 -3- BTS DOMOTIQUE 2008-2010 Fonctions Propriété 2 On a les limites importantes suivantes : ♦ lim ln x = −∞. ♦ x→0+ lim ln x = +∞. x→+∞ Conséquence : La droite x = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D’où le tableau de variations et la courbe : n(x) y=l 2 1 x 0 1 f ′ (x) +∞ + +∞ f I.4 1 2 e3 4 5

définition E f , la notation lim f (x) = b signifie : quand x s’approche, en valeurs, x→a infiniment près de a, l’image f (x) s’approche, en valeurs, infiniment près de b… Signalons très vite que a peut être un réel, appartenant à E f ou pas, ou l’infini, et il en est de même pour b. On peut donc fort bien rencontrer les limites suivantes (correctes) : lim f (x) = 5, pour, par exemple, f (x) = x + 2 x2 − 9 lim f (x) = 6, pour, par exemple, f (x) = x − 3 x→3 x 2 − 5x + 2 lim f (x) = + ∞, pour, par exemple

ε ∀ε > 0, On le note lim− f (x) = ℓ, lim f (x) = ℓ, lim f = ℓ ou encore f (x) −→ ℓ. − < x→x0 Dans ce cas, on pose f < x0 x →x0 (x 0− ) = ℓ. x →x0 Remarquons qu’on peut avoir x 0 ∉ D f . On peut remplacer | f (x) − ℓ| ≤ ε par | f (x) − ℓ| < ε. Mais cette dernière inégalité est équivalente à l’encadrement ℓ − ε < f (x) < ℓ + ε. On obtient donc une nouvelle écriture de la définition : ∀W voisinage de ℓ, ∃Vg voisinage à gauche de x 0 ∀x ∈ Vg , f (x) ∈ W Exemple : lim− ⌊x⌋ = 1. x→1 Définition

n, –1 < (–1)n < 1 3 7 3 7 = 0. donc –  < un < . Or lim – = lim n → + ∞ n → + ∞ n n n n Le théorème des gendarmes (théorème 2) nous permet de conclure : lim un = 0. n → + ∞ 12 Pour tout entier naturel non nul n, –1 < (–1) < 1 n 5(–1)n 5 5 5 5 < et 2 – < un < 2 + . < n n n n n 5 5 Or lim 2 – = lim 2 + = 2. n → + ∞ n → + ∞ n n Le théorème des gendarmes (théorème 2) nous permet de conclure : lim un = 2. donc – 1 2 1 2 n → + ∞ 13 Pour