LIM

Exemple 1. On prend f : R→R . Montrer que lim f (x) = 2 x → 2x3 x→1 2. Cas où a = +∞ : on dit que f admet l pour limite en +∞ si et seulement si : ∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x A ⇒ |f (x) − l| ε 1 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 3. Cas où a = −∞ : on dit que f admet l pour limite en −∞ si et seulement si : ∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x A ⇒ |f (x) − l| ε On note : lim f (x) = l ou f (x) → l x→a x→a Intuitivement, l'assertion lim f (x) = l a la signication suivante : quelque

. Exercices 2.2 1. La pente de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction ( ) 2 f x = 2x − x en x = −2 est donnée par ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim 4 2 4 4 8 lim 6 lim 6 lim lim 6 6 x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x D ® D ® D ® D ® D ® D ® − + D − −  − + D − − + D  −  − − −    = D D − + D −  − D + D  − −   = D D − D = D D − D = D = − D = © ERPI

+∞ si tout intervalle de la forme ]a; +∞[, où a est un réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors lim u n = +∞. n→+∞ On dit qu’une suite (u n ) admet pour limite −∞ si tout intervalle de la forme ] − ∞; b[, où b est un réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors lim u n = −∞. n→+∞ Exemples : u n = n 2 u n = n + (−1)n un = n 2 Limite finie Définition 5 Une suite (u n ) tend (ou converge) vers

a) un  3n  5  1 ( n  3) 2n On a : lim (2  n)   (suite de référence) n 1 0 n 2  n Or : lim (3n  5)   Donc : lim n Donc : lim un   n (addition) b) un  (3n  2)(1  n) ( n  1) n2 (3n  2)(1  n) 3 n2  5 n  2 5 2   3   2 2 2 n n n n 2 5 lim 2  0 (suites de références) Or : lim  0 et n n n n Donc : lim un  3 (addition) Soit n  1 , on a : un  n c)  2 n On a : lim  2    n 1 2 n un  1 (suite

cours. Elles fournissent toutes un nombre dérivé. sin(x) =1 x→0 x lim cos(x) − 1 =0 x→0 x lim ex − 1 =1 x→0 x lim lim x→1 ln(1 + h) ln(x) = 1 ou lim = 1. h→0 x−1 h Théorèmes de croissances comparées ex • lim = +∞ et lim xex = 0. x→+∞ x x→−∞ ln(x) • lim = 0. x→+∞ x Quelques techniques usuelles pour lever des indéterminations Mise en facteur du terme prépondérant Exemple 1. Trouver lim x − 1 − ex . x→+∞ – On classe les termes par ordre décroissant

 Si n lim u n   alors n lim v n  .  Si n lim v n   alors n lim u n  . Prérequis Soit u n  une suite On dit que la suite u n  tend vers  lorsque tout intervalle de la forme A;  contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Question Soit u n  et v n  deux suites telles que u n  v n à partir d’un certain rang et n lim u n  . Démontrer que n lim v n  . Solution Soit I un intervalle de la forme A ;   . Comme n lim u n   alors

x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞ Résultats à retenir n • en +∞ : pour tout entier n supérieur à 0 lim x =∞ ; lim x ∞ x ∞ • x=∞ . n x =∞ ; en –∞ : si n est un entier positif pair, alors xlim −∞ x n=−∞ .

commune ℓ, alors la suite v converge et lim vn = ℓ. n→+∞ Théorème. Toute suite réelle croissante et majorée converge. Toute suite réelle décroissante et minorée converge. Toute suite réelle croissante et non majorée tend vers +∞. Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers −∞. Théorème. Soient u et v deux suites telles que, pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, un vn . Si lim un = +∞, alors lim vn = +∞. Si lim vn = −∞, alors lim un = −∞. n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ Suites

]0 ; +∞[ Théorème 2 lim ln x = −∞ x →0 x >0 x →+∞ lim ln x = +∞ Démonstration : Établissons, pour commencer, le deuxième résultat : Soit p un entier naturel. On a ln 2 = p ln 2. D'où lim ln 2 = lim p ln 2 = +∞. p→ +∞ p→ +∞ p p La représentation graphique de ln admet donc une asymptote verticale d'équation x = 0 mais n'admet pas d'asymptote horizontale. Soit x un nombre réel tel que x 2 . La fonction ln est strictement croissante, donc ln x g alors lim ƒ p p ln 2 .

..............................................23 1.Comment retenir les limites des fonctions de référence ?...............................................23 2.Comment lire graphiquement lim f  x ?......................................................................23 xa 3.Comment calculer une limite lim f  x ?.......................................................................24 xa 4.Comment interpréter graphiquement une limite ? ................................................