LIM

1/Limites -lim quand x tend vers +8: lim x = +8 lim x^2 = +8 lim x^3 = +8 lim †x = +8 lim 1/x = 0 lim 1/x^2 = 0 lim 1/x^3 = 0 lim 1/x^n = 0 lim 1/†x = 0 -lim quand x tend vers -8: lim x = -8 lim x^2 = +8 lim x^3 = -8 lim 1/x = 0 lim 1/x^2 = 0 lim 1/x^3 = 0 lim 1/x^n = 0 -lim quand x tend vers 0-: lim 1/x = -8 lim 1/x^2 = +8 lim 1/x^3 = -8 lim 1/x^n = -8 -lim quand x tend vers 0+: lim 1/x = +8 lim 1/x^2 = +8 lim 1/x^3 = +8 lim 1/x^n = +8 lim 1/†x = +8 2/Asymptotes

f : (a ∈ D f ) Soit a un réel quelconque de Df . Le théorème suivant est admis : Si f est une fonction dérivable sur Df , alors pour tout réel a de Df : lim f (x ) = f (a ) . x →a Exemple : toutes fonctions polynôme ou rationnelle vérifient ce théorème ainsi : Soit f une fonction définie sur R par : f (x ) = 0, 5x 2 − 3x + 3 . Alors : lim f (x ) = f (2) = −1 . x →2 2. Limite en a de f : (a ∉ Df ) On se base sur des lectures graphiques. 3. Limite à l’infini : 4. Limites des fonctions

(I : +∞ − ∞ ∞×0 . lim f ( x ) = l x0 (7 f ( x) − l ≤ g ( x) ∞ ∞ 0 : 0 +∞ + a = +∞ −∞ + a = −∞ +∞ + ∞ = +∞ −∞ − ∞ = −∞ +∞ − ∞ (1 (2 x0 x0 (a (b (c (d lim g ( x ) = 0 : a×∞ = ∞ ∞×∞ = ∞ 0×∞ lim g ( x ) = +∞ x0 x0 x0 f ( x) ≤ g ( x) lim f ( x ) = +∞ ( a ≠ 0) lim f ( x ) = −∞ x0 x0 f ( x) ≤ g ( x) (a ∈ ») lim g ( x ) = −∞ x0 lim f ( x ) = l x0 x0 x0 g ( x) ≤ f ( x) ≤ h ( x) lim g ( x ) = lim h ( x ) = l x0 . . . :

Suites convergentes a) Définitions et premières propriétés Définition 1 On dit qu’une suite (un ) admet pour limite un réel lorsque tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors lim un = . n →+∞ Lorsqu’une suite (un ) admet une limite finie, on dit qu’elle est convergente (ou qu’elle converge). Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente. Remarque On remarque que montrer que tout intervalle ouvert contenant

10–20. 2. f(x) est aussi proche que l’on veut de 1 dès que x est assez grand (voisin de + ∞). lim f(x) = – ∞ ; lim f(x) = + ∞ ; x → –∞ x → +∞ lim – f(x) = + ∞ ; lim+ f(x) = – ∞. x→1 Application 1 x→1 1. 3. Limites et asymptotes parallèles aux axes Activité. Une fonction homographique 1. a) À l’aide d’une calculatrice, on obtient : D’après la représentation graphique, il semble que lim P(x) = + ∞ et lim P(x) = – ∞. x → –∞ f(100) ≈ 0,990 2 à 10–4 près ; f(10 000) ≈ 0,999 9 à 10–4 près ; f(106)

convergente) vers L ∈ R quand n −→ +∞, on note (un )n C.V. vers L, si et seulement si ∀ > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N : |un − L| < c.à.d: à partir d’un certain rang (Nε ) (Nε est toujours à calculer) les termes de la suite s’approchent de L. On écrit alors lim (un )n = L où L ∈ R. n→+∞ |un − L| < ε ⇐⇒ −ε < un − L < ε ⇐⇒ L−ε ≤ un ≤ L+ε ⇔ un ∈ ]L − ε, L + ε[ . Si la suite (un )n C.V. vers L, on dit qu’à partir d’un certain rang N , un appartient à un voisinage de L. Un voisinage de L est un intervalle ouvert

(x + 2)2 croissante sur [0 ; + ∞[. ∀n ∈ , n < n + 1 donc f(n) < f(n + 1) soit un < un+1. La suite (un) est (strictement) croissante. c) (un) est croissante et de limite 3 : donc pour tout naturel n, un < 3 (théorème 10 page 28 du manuel). lim lim 2 a) n → +  un = n → +  3 b) ∀x > 0, f(x) – 3 = 3x – 1 –7 –3= < 0. x+2 x+2 4 a) ∀x > 0, f’5(x) = 1 > 0, donc f5 est strictement x2 croissante sur ]0 ; + ∞[. 1 b) ∀x > 0, > 0 donc f5(x) < 1. La courbe représentative x de f5

ues aodeCHAPITRE 1 Exercices 1.1 1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 2. x →−1 x →3 lim f ( x ) = 0 lim f ( x ) = 2 x → 2− x → 2+ x →2 lim f ( x ) = 1 lim f ( x ) = 1 lim f ( x ) = 1 f ( 2) = 2 lim − f ( x ) = 4 x →−3 x →−3 + x →−3 lim f ( x ) = 2 lim f ( x ) n’existe pas. f ( −3 ) = 4 Quand x s’approche de −2 par la gauche ( x → −2 ) , − Quand x s’approche de −2 par + la droite ( x → −2 ) , x f(x) −2,1 4,41 −2,01 4,040 1 −2,001 4,004 0 −2,000 1 4,000

ﻧﻬﺎﻳﺔ ) ‪ f ( x‬هﻲ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+‬ ‫∞+→ ‪x‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ∞+ = ) ‪lim f ( x‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ ﻣﻦ ﺧﻼل اﻟﺠﺪول و اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺄﺧﺬ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ أﺻﻐﺮ ﻓﺄﺻﻐﺮ و‬ ‫ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻓﺎن ) ‪ f ( x‬ﺗﺄﺧﺬ ﻗﻴﻤﺎ أﺻﻐﺮ ﻓﺄﺻﻐﺮ و ﺳﺎﻟﺒﺔ وﺗﺆول اﻟﻰ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول‬ ‫‪ x‬إﻟﻰ ∞−‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ﻧﻬﺎﻳﺔ ) ‪ f ( x‬هﻲ ∞− ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞−‬ ‫∞→ ‪x‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ∞− = ) ‪lim f ( x‬‬ ‫إذا آﺎن ) ‪ f ( x‬ﻳﺆول إﻟﻰ ∞+ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻳﺆول ‪ x‬إﻟﻰ ∞+ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻜﺘﺐ ∞+ = ) ‪ lim f ( x‬أو ∞+ = ) ‪lim f ( x‬‬ ‫∞+‬ ‫∞+→ ‪x‬‬ ‫آﺘﺎﺑﺎت و ﻧﻬﺎﻳﺎت اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ

x ) = 5 + 1 x 6) f ( x ) = −x Déterminez les limites suivantes 7) lim (2 x + 1 − x →+∞ 1 ) x 8) lim( x 2 − 4 + x→0 x >0 1 ) x 3 x → −∞ x − 4 9) lim ( − x 2 + x − 3) 10) lim x →−∞ 11) lim x →+∞ x2 −2 + 3 x 1  14) lim x  + 3  x →−∞ x  Etudier le comportement de f lorsque x tend vers a avec : 12) lim x ( − x + 1) x →+∞ 15) f ( x ) = 13) lim ( −3t ( t − 4 ) ) t →−∞ 1 ,a=2 x−2 16) f ( x ) = −2 , a = −3 x+3