LIM

exprimer g′ en fonction de g. Exercice no 9 Soit f une fonction de classe C 1 sur R à valeurs réelles telle que : f(1) = 0. Montrer qu’il existe c ∈]0; 1[ tel que cf ′(c) + f(c) = 0. Exercice no 10⋆ A l’aide du théorème des accroissements finis déterminer lim x→+∞ ( (x+ 1)e 1 x+1 − xe 1 x ) Exercice no 11 1) Montrer que pour tout x ∈ [0; 1], on a x ⩽ ex − 1 ⩽ ex 2) Montrer que pour tout x ∈]− 1;+∞[, on a x 1 + x ⩽ ln (1 + x) ⩽ x Exercice no 12 Soit la suite (un) définie par u0∈]3; 4[ et pour tout n ∈ N,

ln(a^n)=nln(a) ROC 14 Pré-requis : lim ln(x), en +∞ = +∞ lim(ln(x)/x), en +∞ = 0 -Montrer que lim ln(x), en 0 = -∞ Posons X=(1/x) x tend vers 0, donc X tend vers +∞ Lim ln(x), en 0 = lim ln(1/X), en +∞ = lim -ln(X), en +∞ = -∞ car lim ln(x), en +∞ = +∞ -Montrer que lim xln(x), en 0 = 0 Posons X=(1/x), alors x=(1/X) x tend vers 0, donc X tend vers +∞ xln(x) = (1/X)ln(1/X) = - ln(X)/X lim xln(x), en 0 = lim - ln(X)/X, en +∞ = 0 car lim(ln(x)/x), en +∞ = 0 ROC 15 En utilisant

1 − 5 2 + 3 n n Or : lim 1 − n→+∞ 2 5 + 3 =1 n n lim n3 = +∞ n→+∞ Donc par produit : lim n3 − 2n2 + 5 = +∞ n→+∞ b) n2 × (−1 + 15 − −n2 + 15n − 2 n = 2 25n + 2 n × (25 + n ) = − n2 −1 + 15 n × n 25 + n2 =n× −1 + 15 − n 25 + n2 2 ) n2 2 n2 2 n2 Or : lim −1 + n→+∞ 15 2 − 2 = −1 n n lim 25 + n→+∞ 2 = 25 n Donc par quotient, −1 + 15 − n n→+∞ 25 + n2 lim 2 n2 =− 1 25 Et par ailleurs, lim n = +∞ n→+∞ Donc par produit : −n2 + 15n − 2 = −∞ n→+∞ 25n + 2 lim c) n3 × (−2 + n2 + n42

× r . ∗ un = u0 + n.r . +∞, si r > 0 ∗ lim un = n→+∞ −∞, si r < 0 ∗ Somme de termes consécutifs : (nombre de termes) × 1er terme × dernier terme 2 Exemple : 1 + 2 + ... + n = 2 n × (n + 1) 2 1 SUITES Fiches de Mathématiques Suites géométriques ∗ Une suite (un )n∈ est géométrique s’il existe un réel q (la raison) indépendant de n tel que, pour tout n∈ , un+1 = un + q . ∗ Pour tous entiers n et p, un = u p × q n−q . ∗ u n = u0 × q n . +∞, si q > 1 ∗ lim q n = n→+∞ 0, si 0 < q < 1 ∗ Somme de

+   pas d'asymptote horizontale. lim f(x) = lim x   x   f (x) 4x 3 = lim = lim 4x = +   pas d'asymptote oblique. x   x   x   x x N.B. En  , un polynôme se comportant "comme" son terme du plus haut degré (ici 3). La fonction f(x) va 3 donc se comporter "comme" une fonction de degré et n'admet donc pas d'asymptote horizontale ou oblique. 2 1 1 12x 2  8x  1 (2x  1)( 6x  1) f ' (x) = = racines : et 2 2 2 6 2 x (2x  1) 2 x (2x  1) lim f " (x) = 12x 2  4x  1 4x x (2x

mesures Exercice 1 : lim inf et lim sup de suites d’ensembles mesurables. 1. Question pr´liminaire. Soit (an )n≥0 une suite de r´els. On d´finit les deux nombres suivants e e e dans R : lim sup an = lim sup ak et lim inf an = lim inf ak . n→∞ n→∞ k≥n n→∞ n→∞ k≥n (a) V´rifier que ces deux d´finitions ont bien un sens. e e (b) V´rifier les assertions suivantes : e • lim sup an < α ⇒ ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α. n→∞ • ∃n ≥ 0, ∀k ≥ n, ak < α ⇒ lim sup an ≤ α. n→∞ • lim sup an > α ⇒ ∀n ≥ 0, ∃k ≥

voisinage : si a ∈ R, Va =]a − ν, a + ν[ (ν > 0), si a = +∞, Va =]A, +∞[, si a = −∞, Va =] − ∞, B[). 1.1.1 Suites Suites num´riques : (un )n≥n0 , un ∈ R ou C. e D´finition de la limite d’une suite e l = lim un ⇐⇒ ∀ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , |un − l| < . n→+∞ D’o` u l = lim un ⇐⇒ 0 = lim |un − l|. n→+∞ n→+∞ Si la suite (un )n≥n0 tend vers +∞ (resp. −∞) elle diverge. La suite (un )n≥n0 tend vers +∞ s’´crit e ∀A > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , un > A. Nature d’une suite (convergence ou divergence)

limites suivantes : 2 e 3x – e x a) lim 2x x ∞ 3 e 5 (1+0,5+1+0,5+1=4 points) b) lim x 0 x  2 e x – 5 ex – 1 (1,5+0,5=2 points) Exercice III - ROC : Prérequis sur la fonction exponentielle : • La fonction exponentielle exp est dérivable sur ℝ ; • Sa fonction dérivée exp' est la fonction exp elle-même ; 0 x • e =1 et e x pourtout réel x strictement positif. 1°) x a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ;∞[ , e x  . 4 x e b. En déduire lim . x ∞ x Question supplémentaire***

Exercice 1 Avant de corriger les exercices, notons que z0 est un pôle d’une fonction f s’il existe un entier n ≥ 1 tel que : lim z→z0 (z − z0)n f(z) 6= 0 et lim z→z0 (z − z0)n+1 f(z) = 0 Lorsque n existe, il est unique. L’entier n est appelé ordre du pôle z0. Par exemple, la fonction f(z) = 1 zk (avec k ≥ 1) admet z0 = 0 comme pôle d’ordre k, car : lim z→0 (z − 0)k f(z) = 1 6= 0 et lim z→z0 (z − 0)k+1 f(z) = 0 Si f(z) = P (z) Q(z) où P et Q

si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn )n est appelée somme de la série et on note : +∞ lim Sn = n→+∞ un n=0 Une série qui n’est pas convergente est dite divergente. En d’autres termes, si on note ℓ = lim Sn on a alors : n→+∞      un  converge vers ℓ ⇐⇒ lim Sn = ℓ  n→+∞ n≥ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N(n  ≥ N =⇒ |Snn− ℓ| < ε)    ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ∈ N n ≥ N =⇒ un − ℓ < ε. k=0