LIM

x +1 > 0 ⇔ x >−1 ainsi f est définie sur ]−1;+∞[. • f est continue sur ]−1;+∞[ en tant que produit de fonctions continues sur ]−1;+∞[. • lim x→+∞x +1 =+∞ donc lim x→+∞ p x +1 =+∞ et lim x→+∞ ln x +1 =+∞. Ainsi lim x→+∞ f (x) =+∞ Pour tout réel x >−1 on a f (x) = (x +1)1/2 ln(x +1). lim x→−1+ x +1 = 0+ et lim X→0+ X 1/2 ln(X ) = 0 par conséquent lim x→−1+ f (x) = 0. On peut donc prolonger la fonction f en −1 en posant f (−1) = 0. • La fonction f est dérivable sur ] − 1;+∞[ en tant que produit

On écrit alors lim f (x) = x→a+ ou lim x→a, x>a f (x) = . y • f (x) • a Serge Dumont x Mathématiques x 2015-2016 22 / 44 6 – Les limites 6.1 – Limites quand x tends vers un réel fini Définition 15 (Limite finie quand x tend vers un réel par valeurs inférieures) De même, on dit que que f (x) tend vers inférieures lorsque f (x) se rapproche de quand x tend vers b par valeur quand x se rapproche de b en restant inférieur à b. On écrit alors lim f (x) = x→b− ou lim x→b, x<b f (x)

et f(x) = x², Fog(x) = (2x-3)² Si : lim g(x) = b x→a Et si : lim f(x) = c x→b Alors : lim (fog)(x) = x x→a Asymptotes Asymptote verticale quand lim f(x) = +∞ (1) ou lim f(x) = -∞ (2) x → a+ x → aLa droite d'équation x = a est asymptote verticale à C en +∞ (1) ou/et -∞ (2) • Asymptote horizontale quand lim f(x) = b+ (3) ou lim f(x) = b- (4) x → +∞ x → -∞ La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à C en +∞ (3) ou/et -∞ (4) • Asymptote oblique quand lim [f(x) – (ax+b)] = 0 x → +/-∞ La droite

fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. x →2 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite du rapport des termes

X 2C ( p ) =0 et Fe(t)=a.u(t) c’est à dire Fe ( p ) = a p en appelant X 2,F ( p ) la sortie relative à Fe ( p ) , alors X 2C ( p ) = F1( p ).Fe ( p ) . En régime établi (régime permanent), lim x2 ,F ( t ) = lim p.X 2 ,F ( p ) = lim p.F1( p ).Fe ( p ) t →∞ p →0 lim x2 ,F ( t ) = − lim p. t →∞ p→0 p →0 S.d .p. R.rh KQ a =0  ξ p2  p K BO + p 1 + 2 p+ 2  ω0 ω0   . La sortie x2(t) relative à Fe(t) est nulle en régime permanent, il est donc possible

= 6√&#119899; + 1 &#119899;² + 2 Or, lim &#119899;→+∞ 6√&#119899; = +∞ et lim &#119899;→+∞ ( 1 &#119899;2 + 2) = 2 [en effet, lim &#119899;→+∞ 1 &#119899;² = 0] Donc par somme, lim &#119899;→+∞ &#119906;&#119899; = +∞ 2) &#119906;&#119899; = −3&#119899;2 − 2&#119899; − 1 Pour tout &#119899; ∈ ℕ, &#119906;&#119899; = −3&#119899;2 − 2&#119899; − 1 Or, lim &#119899;→+∞ (−3&#119899;2) = −∞ et lim &#119899;→+∞ (−2&#119899; − 1) = −∞ Donc par somme, lim &#119899;→+∞ &#119906;&#119899; = −∞

+∞ lim x → +∞ [x lim ( x 2 + x + 1 − (x + 1) = + 3x − 1 + mx = ] ‫درس : اﻹ ﺗﺼﺎل و اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت‬ www.madariss.fr 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 lim− x 2 − 5x + 6 = (2 − x ) 2 2 ) . ‫اﻷﺳﺘﺎذ : ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬ ‫اﻟﺨﻤﻴﺴﺎت‬ : 1 ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ رﻗﻢ‬ : ‫أ ﺣﺴﺐ اﻟﻨﻬﺎﻳﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x →2 ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ lim x 2 ⎜1 − cos⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ x → +∞ ⎝ x ⎠⎠ ⎝ x → +∞ lim x 2 − x + 1 − x − 1 = x2 − x 2x = lim x →1 (1 − x ) 2 x → −2 x 〈−2 x → +∞ lim

≤ 2 &#119909;+1 alors lim &#119909;→+∞ &#119891;(&#119909;) = 0. 2- Si &#119891; est une fonction continue et monotone sur l’intervalle I alors &#119891; admet une bijection réciproque noté &#119891;−1 définie sur &#119891;(&#119868;). 3- Si pour tout &#119909; &gt; 0, on a : 1 − 4 &#119909; ≤ &#119891;(&#119909;) ≤ 3 + 1 &#119909; alors lim &#119909;→+∞ &#119891;(&#119909;) = &#119896; avec &#119896; ∈ [−4; 1]. 4- Si lim &#119909;→+∞ &#119891;(&#119909;) = +∞ et lim &#119909;→+∞ &#119891;(&#119909;)

2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante. Elle est continue et bijective. 1 • ln ′ ( x ) = -- ; x ln 1 = 0. • lim ln x = – ∞ x→0 0 x x ln 1 -x 0 + 1 + +∞ +∞ –∞ 0 x → +∞ lim ln x = + ∞ . 1 1 0 B A ln e 148 cours savoir-faire exercices corrigés • On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1. 1 Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = --

ex –2x e ; B = e–2x+x–(–x) d’où B = e0 = 1. = e e– x e– x (ex)2 – 3e2x e2x – 3e2x e2x = ; C = – 2 x d’où C = – 2ex. x x e e e b) • La fonction exp est strictement croissante. C= • On peut conjecturer que lim exp (x) = 0 b) (ex + e–x)2 = (ex)2 + 2ex e–x + (e–x)2 = e2x + 2 + e–2x et lim exp (x) = + ∞. (ex – e–x)2 = (ex)2 – 2ex e–x + (e–x)2 = e2x – 2 + e–2x d’où (ex + e–x)2 – (ex – e–x)2 = 4. x → –∞ x → +∞ Application 1 On obtient ln(5x) = – 1 1 1 1 d’où 5x = e– –4 puis x = e– –4. 4 5 3