LIM

fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • x →+∞ x →2 lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3) = −3 lim x3 = +∞ car lim x3 = +∞. x →+∞ x →+∞ x →+∞ lim (x2 + 1) = 5. 3) Limites de fonctions rationnelles Une fonction rationnelle ƒ est un quotient de deux fonctions polynômes. Sa limite est donnée par : • la limite du rapport des termes de plus haut degré

x² x² + 2 − 3 x lim ; lim ; lim ; lim x ² + 3 x − 2 x ; lim x ² + 3 x − x ; x →+∞ 1 + x − x ² x →1 1 + x − 2 x ² x → +∞ x →+∞ x →1 x −1   x +7 − 3 x −3 1 lim x ² + 3 x − x ; lim x ² + 3 x − 3 x + 1 ; lim ; lim ; lim x  4 + − 2   x →−∞ x →+∞ x →3 x + 6 − 3 x →2 x + 2 − 2 x →0  x   ( ( lim x → +∞ , lim x →0 ) ( ( ) ( ) ) ) cos x − 1 x − 3 + x −3  2 πx − 1  x² + x − x² − x ; lim cos ; lim  ; lim x →+∞ x →3 x 

1ère BT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008 Devoir surveillé n 2 ˚ EXERCICE no 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x→+∞ 2. lim x→2− −3x2 + 4x + 1 3. x+3 x2 − 4 4. lim+ lim x→−∞ x→0 x2 − 5x4 + 3x − 1 x4 − x2 − 1 x2 − x + 1 + ln x 2 5. 6. lim x→+∞ ln x x3 + x x2 e lim ex + e−x + x→−∞ √ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative

une branche infinie en b » (resp. a) si on a : t →b − lim OM = +∞ (resp. lim OM = +∞ ) + t →a Note : l’existence d’une branche infinie est indépendante de l’origine choisie. Les différents cas de figure possibles sont les suivants (nous traitons la problématique des limites en b, les résultats sont bien sûr analogues en a) : 1. lim x(t ) = x0 et lim y (t ) = ±∞ − − t →b t →b Asymptote d’équation x = x0 ; 2. lim x(t ) = ±∞ et lim y (t ) = y0 − − t →b t →b t →b t →b Asymptote d’équation

On note alors lim��→�� 0 �� �� = �� ou lim�� 0 ��(��) = �� ∗ ∗ Illustration graphique : 2 Exemple : lim��→2 ��+3 = 0 On a de la même manière : lim��→�� 0 �� �� = +∞ si ∀�� ∈ ℝ+ , ∃�� ∈ ℝ+ tel que ∀�� ∈ E, �� − ��0 < �� ⇒ �� �� > �� Les valeurs de f(x) « croissent de plus en plus » quand x tend vers x0 lim��→�� 0 �� �� = −∞ si ∀�� ∈ ℝ+ , ∃�� ∈ ℝ+ tel que ∀�� ∈ E, �� − ��0 < �� ⇒ �� �� < −�� Les valeurs de f(x) « diminuent de plus en plus » quand x tend vers x0 Ex : lim��→0 ln �� = −∞

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ, contient toutes les valeurs de f ( x ) pour x assez grand - c’est à dire pour les x d’un intervalle ] A; +∞[. On note alors : ℓ ∆ O lim f ( x ) = ℓ x A x →+∞ La droite ∆ d’équation y = ℓ est dite asymptote horizontale à C f Remarque : On définit de façon analogue lim f ( x ) = ℓ. x →−∞ 1 1 1 , x → n et x → √ ont des x x x limites nulles en +∞ et −∞ pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l’axe des abscisses comme asymptote horizontale

note : lim f ( x ) = + ∞  → Cf Lorsque x prend des valeurs de plus en plus grande , la courbe Cf finit par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale .  → x → +∞ j Rem : De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) : Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) > M . On dit aussi que la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞ . Exemples à connaître : lim x = + ∞ , lim x ² = + ∞ x → +∞ x → +∞ O i , lim x 3 = +

      lim x 0 lim x 0           1 x 1     x        ≠                ou rationnelle           1   f  f  g , sauf peut être en un réel a de I. S’il existe une fonction g définie sur l’intervalle I et continue en a telle que g(x) = f (x) pour x  lim x a a   f(x) si x

a”. NOTATION : On ´crira alors lim f (x) = e x→a ou encore f (x) −→ x→a Exemple 1 Fonctions de r´f´rence : ee x x2 x3 ... −0, 01 −0, 0001 0 ... 0, 000 1 0, 000 000 01 0 . . . −0, 000 001 −0, 000 000 000 001 0 0, 0001 0, 01 ... 0, 000 000 01 0, 000 1 . . . 0, 000 000 000 001 0, 000 001 . . . On constate que quand x est “proche“ de 0 alors x2 et x3 sont aussi ”proches” de 0. Ce qui nous donne l’intuition des limites suivantes : x→0 lim x2 = 0 et lim x3 = 0 x→0 2 b) limite infinie