LIM

familier avec le calcul diff´rentiel des fonctions e e ee e d’une variable, les fonctions R → R. Rappelons quelques r´sultats impore tants de ce calcul. a) Le crit`re de Cauchy. e Une suite {xn }n∈N num´rique est convergente si et seulement si e n,m→+∞ lim |xn − xm | = 0. b) Le th´or`me de Bolzano-Weierstrass. e e Toute suite {xn }n∈N de points d’un intervalle compact [a, b] contient une suite partielle convergeant vers un point de cet intervalle. c) La propri´t´ des valeurs extrˆmes. ee e L’image

pour tout entier naturel n non nul 3 In+1 + (n + 1) In = e3. (1) En déduire I2 . 4° a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, In est positive. e3 b) Déduire de l'égalité (1) que, pour tout entier naturel n non nul, In ≤ n+1 c) Déterminer lim In. n → +∞ Exercice I Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d'un répondeur. Quand l'artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois

dépond ni du mode du découpage de D, ni du choix du point pk dans ∆sk. Définition 1.8 On appelle intégrale double de la fonction f(x, y) sur le domaine D, la limite de la suite (vni)ni∈N , lorsque le plus grand sous domaine ∆sk → 0 et que n→∞. on note lim max∆sk→0 n→∞ n∑ k=1 f(pk)∆sk = ∫∫ D f(x, y)dydx. 121.3.1 Propriétés de l’intégrale double Si f(x, y) et g(x, y) sont deux fonctions continues sur le domaine D = D1 ∪D2 de R2 avec (D1 ∩D2 = Φ) , nous avons alors ∫∫ D [f(x, y) + g(x, y)] dydx = ∫∫ D f(x

par H (x) = P (−x 1 2π X t2 e− 2 . x) = x f (t ) dt . −x 1. La fonction f représente la fonction de densité de probabilité pour la loi normale centrée réduite. 2. H (0) = 0 0 f (t ) dt = 0 ; et d’après le cours lim H (x) = 1. x→+∞ 3. D’après la relation de Chasles : x −x Mais la fonction f est positive donc ci-dessous, tandis que x 0 f (t ) dt = 0 −x 0 −x f (t ) dt + x 0 f (t ) dt . f (t ) dt est l’aire du domaine hachuré

définie par : LI [ f (t ) ] = F ( p) = ∞ ∫ f (t ) exp (− pt ) dt (I.1)1 0− où p est la variable complexe2. On définit également parfois la transformée de Laplace bilatérale par : ∞ 1 ∫ f (t ) exp (− pt ) dt 0− ∞ est en fait une notation pour lim t0 → 0− ∫ f (t ) exp (− pt ) dt . Ce choix particulier t0 pour la borne d’intégration inférieure permet de prendre correctement en compte les fonctions discontinués en t=0 et les distributions (d(t), d’(t), etc.). 2 La fonction F(p) n’est pas définie

raison . 2 2 1 Sn = 1 − n . 2 De même Tn est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de 1 1 premier terme et de raison . 4 4 1 1 Tn = 1− n . 3 4 1 1 1 1 Comme et sont compris entre −1 et 1, on a lim n = 0 et lim n = 0. n→+∞ 2 n→+∞ 4 2 4 1 On en déduit que lim S n = 1 et que lim Tn = . n→+∞ n→+∞ 3 un+1 5. a. On a démontré que si n > 0, alors un > 0. On peut donc écrire que = un 1 1 + n+1 > 1. 2 On a donc pour tout n > 0, un+1 > un : la suite (un )n>0 est strictement croissante. b. On

geometrique PourtoutnE N, de premier terme Uo E IR et de raison bE IR* un+1=bun n(n + 1) 1 +2+... +n=--2- Si b * 1 alors 1 + b + b2 + ... + bn = --- 1 _bn+ l-b 1 • limite d'une suite geometrique Si 0 < b < 1 alors lim bn = 0 . B. Proprietes algebriques de fonctions usuelles • Fonctions exponentielles et logarithmes eO= 1 Pour tous reels a et b, Pour tout XE]O; +00[, In X= r" ~ J1 t dt In ab = In a + In b E et In E = In a

: ∞ ∑ n=0 u n = uo + u1 + u2 + u3 + ... Une série de ce type converge si Lim { |un| 1/n } < 1 n→∞ 12-2 La Transformée en Z. Séance 12 Pour appliquer ce critère, on peut decomposer la série de X(z) en deux séries. X(z) = ∞ ∑ x(n) z –n = n=–∞ ∞ –n x(n) z + ∑ ∑ x(n) z –n = X1(z) + X2(z) n=–∞ n=0 –1 X2(z) converge si Lim { | x(n) z–n | 1/n } < 1 n→∞ Soit Rz– = Lim { | x(n) | 1/n }. Alors X2(z) converge si |z| > Rz– n→∞ Pour X1(z), on fait un changement

supposons qu’il existe n ∈ N tel que un > n2 , alors un+1 = un +2n+3 > n2 +2n+1+2 ou encore un+1 > (n+1)2 +2 donc a fortiori un+1 > (n + 1)2 . On a donc démontré par récurrence que pour tout n ∈ N, un > n2 n→ +∞ n→ +∞ b. Comme lim n2 = +∞ on a par comparaison : lim un = +∞. u0 = 1 u0 + 3 = 4 u1 = 3. On calcule les premiers termes : u2 = u1 + 2 + 3 = 9 u3 = u2 + 4 + 3 = 16 u4 = u3 + 6 + 3 = 25 On peut donc conjecturer que un = (n + 1)2 . Démonstration de la propriété par récurrence : – Initialisation

tangente à la trajectoire; r r r r ∆r r (t + ∆t ) − r (t ) V = lim = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t Ce qui équivaut à r r dx r dy r dz r r dr r r V = = Vxi + Vy j + Vz k = i + j + k dt dt dt dt •À partir du changement de la vitesse entre deux instants séparés par Δt, on définit l’accélération moyenne: amoy = ΔV / Δt = (ΔVx / Δt) i + (ΔVy / Δt) j + (ΔVz / Δt) k L’accélération instantanée est r r r r ∆V V (t + ∆t ) −V (t ) a = lim = lim ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t r r dV r dVy r dV r r r équivaut à r dV a=