LIM

2. Soit (un ) ⊂ [0, 1[ ; lim un = 1. n→+∞ (a) (0 .5pt) (un ) n’est pas obligatoirement croissante, il suffit de prendre comme exemple : u0 = On a 0 < 1 et u0 = Ou ∀n ∈ N , un = (b) (1pt) i. (0 .25pt) lim un = 1, pour ε = n→+∞ n→+∞ 1−u0 2 ∗ 1 2 1 1 , un = 1 − , ∀n ∈ N∗ 2 n n→+∞ > u1 = 0 & (un ) ⊂ [0, 1[ & lim un = 1. 1− 1− 2 n 1 n si n est paire . si n est impaire > 0, ∃n1 > 0; un1 ≥ 1 − ε = 1−unp 2 1+u0 2 > u0 . 1+unp 2 ii. (0 .25pt) De même, lim un = 1, pour ε = > 0, ∃np+1

q ′ (x) est du signe de −a entre les racines. Ainsi x −∞ q ′ (x) + 0 +∞ 4 −8 0 − + On obtient ainsi le tableau de variation de q. x −∞ q ′ (x) + 0 +∞ 4 −8 0 − + +∞ 1 289 q (x) −∞ −439 lim 2x3 + 12x2 − 192x + 9 = lim 2x3 = −∞ x→−∞ x→−∞ lim 2x3 + 12x2 − 192x + 9 = lim 2x3 = +∞ x→+∞ x→+∞ −5t + 5 . t−6 a) Déterminer l’ensemble de définition Dk de k. La fonction rationnelle k est définie et dérivable en t si t − 6 = 0. ◮2. On considère la fonction k définie par k(t) = t−6=0

d’une somme de fonctions. Si lim f = a ”F.I.” signifie ”forme indetermin´e” & a ∈ R ∪ {−∞; +∞}. e l l l+l l +∞ +∞ l −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ F.I. et lim g = a alors lim(f + g) = a Limite d’un produit de fonctions. Si lim f = a l l l×l l < 0 ou − ∞ +∞ −∞ l > 0 ou + ∞ +∞ +∞ l < 0 ou − ∞ −∞ +∞ l > 0 ou + ∞ −∞ −∞ 0 +∞ −∞ et lim g = a alors lim f × g = a F.I. Limite de l’inverse d’une fonction. Si lim f = a l=0 1 l +∞ −∞

On a lim f (x) n’existe pas : il est n´ cessaire de pr´ ciser la facon de faire tendre x vers 0. e e ¸ x−→0 Pour que cette limite ait un sens, x ne doit pas ≪ traverser ≫ l’ensemble de d´ finition de la fonction. e Exercice 1. D´ terminer les limites suivantes en s’aidant d’un graphique. e (1) lim 3x2 + x − 1 x−→+∞ (2) lim x2 − x + x−→−∞ 1 x (3) lim √ x−→2 4x − 1 (4) lim x−→+∞ 4 3x2 + 1 1. Notion de limite 1.1 Un peu d’intuition ´ D´ finition 1. Etudier lim f (x)

x−→−∞ lim f (x) 2 Solution: On a lim 1−x = +∞ , donc lim f (x) = lim 1− . Comme x−→−∞ x−→−∞ X−→+∞ X 2 2 2 + − lim = 0 , alors lim − = 0 et lim f (x) = lim 1 − = 1− . x−→−∞ X−→+∞ X X−→+∞ X−→+∞ X X (b) 1 point x−→+∞ lim f (x) 2 Solution: On a lim 1−x = −∞ , donc lim f (x) = lim 1− . Comme x−→+∞ x−→+∞ X−→−∞ X 2 2 2 − + = 0 , alors lim − = 0 et lim f (x) = lim 1 − = 1+ . lim x−→+∞ X−→−∞ X−→−∞ X−→−∞ X X X (c) 1 point x−→1− lim f (x) 2 = Solution: On a lim− −x = −1+ , donc lim− 1 − x

dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim f  x=∞ . ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • x −∞ x −∞ lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) lim f  x=−∞ . Résultats à retenir n • en +∞ : pour tout entier n supérieur à 0 lim x =∞ ; lim x ∞ • n en –∞ : si n est un entier positif pair, alors xlim x =∞ ; −∞ n mais si n est un entier positif impair, alors

 Y  y  b nombre dérivé en x0 : lim x0 f ( x )  f ( x0 ) x  x0  lim 0 f ( x0  h)  f ( x 0 ) h . Ttangente en x0 : y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) si f’’(x 0)  0, la courbe est au dessus de sa tangente en x0 ; si f’’(x0)  0, la courbe est en dessous de sa tangente. inégalité des accroissements finis : sur [a, b], si m  f '( x )  M alors x, y [ a, b], m  f ( y)  f ( x) M yx f et g ont des courbes asymptotes ssi lim( f ( x )  g( x ))  0 ; leur position

4 : Etudes de fonctions Exercice n 1: ˚ 1. Pour tout x ∈ R, −x ∈ R. (On peut aussi dire que le domaine de d´finition est e centr´ en 0.) e soit x ∈ R, f (−x) = −(−x)4 + 2(−x)2 + 1 = −x4 + 2x2 + 1 = f (x), donc f est paire 2. lim f (x) = lim −x4 = −∞ et par sym´trie : lim f (x) = −∞. e x→+∞ x→+∞ x→−∞ 3. f est d´rivable sur R et pour tout x ∈ R, on a : f ′ (x) = −4x3 + 4x = 4x(1 − x2 ). e D’une part 4x 0 ⇔ x 0, d’autre part 1 − x2 0 ⇔ x ∈ [−1; 1] (r`gle du signe e du trinˆme), ce qui donne :

il existe un entier naturel p , tel que, si n ≥ p , alors u n > M On note lim u n = + ∞ Ex : lim n ² = + ∞ n → +∞ n → +∞ cas 2 Ex : Si les termes u n finissent par être négatifs et « si un est aussi grand que l’on lim ( – n ² ) = – ∞ veut en valeur absolue dès que n est assez grand », alors on dit que la suite ( u n) n → +∞ a pour limite – ∞ . On note : n → +∞ lim u n = – ∞ n → +∞ lim u n = – ∞ ⇔ n → +∞ lim ( - u n ) = + ∞ cas 3 ( suite convergente ) Soit L un réel donné. Intuitivement

a) x→ − ∞ lim (− 9 x − 2010) On a : x→ − ∞ lim − 9 x = + ∞ Somme x→ − ∞ lim (− 9 x − 2010) = + ∞ x→ − ∞ lim − 2 010 = − 2 010 b) x→ − ∞ lim − 6 x 2 − 5 x + 2 ( ) La limite d’une fonction polynôme en − ∞ est égale à la limite en − ∞ de son terme de plus haut degré. Ainsi : lim − 6 x 2 − 5 x + 2 = lim − 6 x 2 = − ∞ x→ − ∞ x→ − ∞ ( ) ( ) 1 c) lim x→ 2 x< 2 5 x−2 x Signe de x-2 −∞ 2 0 + +∞ On a : lim 5 = 5 x→ 2 x<