LIM

que ¦ a pour limite +¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = +¥ x ® +¥ · grands en valeur absolue mais négatifs, on dit que ¦ a pour limite –¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = –¥ x ® +¥ · proches(2) d'un réel l, on dit que ¦ a pour limite l en +¥ et on note lim ¦(x) = l. x ® +¥ Définitions rigoureuses (données ici à titre indicatif) · Si pour tout réel M positif, il existe un réel A tel que : x  A Þ ¦(x)  M Alors on dit que ¦ a pour limite +¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = +¥ x ® +¥ · Si pour tout réel

Premier examen blanc 1. a) b) c) 2. a) b) x →a − x →a lim f ( x ) = L lim f ( x ) = ∞ x →∞ lim f ( x ) = L Faux. Une fonction qui admet une discontinuité par trou en x = a est telle que lim f ( x ) existe. x →a Faux. La fonction f ( x ) = x est une fonction continue sur [ −1, 1] , mais c) d) f ( x ) = x ne l’est pas sur cet intervalle, parce qu’elle n’est pas définie partout sur cet intervalle. Vrai. Il s’agit essentiellement de la définition de la continuité d’une

5 : a) lim f ( x) = lim x 3 + lim x − 1 = +∞ . x →+∞ x →+∞ x →+∞ Limite d’une somme Car b) x →+∞ lim x3 = +∞ et x →+∞ lim ( x − 1) = lim x − 1 = +∞ x →+∞ ( ) (somme) 3⎞ ⎛ lim g ( x) = ⎜ lim ⎟ − 1 = −1 . (somme) x →+∞ x ⎝ ⎠ 3 1 lim = 3 lim = 3 × 0 = 0 . Car Limite d’un produit. x →+∞ x x →+∞ x ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ c) i(x) = x 3 − x + 1 = x 3 ⎜ 1 − + ⎟ donc lim i ( x) = lim x 3 × lim ⎜1 − + ⎟ = +∞ (produit). x →+∞ x →+∞ x →+∞ ⎝ x x² ⎠ ⎝ x x² ⎠ 1 1 ⎛ 1 1⎞ Car lim x3 = +∞

éventuelle en −∞ de chacune des fonctions suivantes : 4) f x x( ) � − 3 5) f x x ( ) � �5 1 6) f x x( ) � − Déterminez les limites suivantes 7) lim ( ) x x x→�∞ � −2 1 1 8) lim( ) x x x x→ � − � 0 0 2 4 1 9) lim ( ) x x x →−∞ − � −2 3 10) 4 3 lim −−∞→ xx 11) 2 lim 3 2 x x x →�∞ − � 12) � �lim 1 x x x →�∞ − � 13) � �� �lim 3 4 t t t →−∞ − − 14) 1 lim 3 x x x→−∞ � ��� � � � Etudier le comportement de f lorsque x tend vers a avec : 15) f x x a( ) ,� − � 1 2 2 16) f x x a( ) ,� − � � − 2 3 3 17)

Limites de suites et de fonctions (page 56) Réponses a) lim f(x) = 4 . x→0 5 b) Pour tout x ≠ 0, f(x) = x – 5 et lim f(x) = – 5. x→0 1 c) lim – 2 = – ∞ donc lim f(x) = – ∞. x→0 x x→0 x d) lim e – 1 = exp’(0) = e0 = 1. x→0 x 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » Prérequis testés Calculer une limite de fonction en zéro de façon intuitive. 2 Reconnaître l’existence d’une asymptote horizontale. a) lim x→+∞ 1 = 0 donc lim f(x) = 3. x→+∞ x– 1 en + ∞. b) La droite d’équation y

réels. Les résultats qui suivent concernent les opérations sur les limites en un réel ou à l’infini. lim f lim g lim  f + g  L L    L  L   L  L     lim f lim f L L     lim f lim g lim  f  g  L      L L  0 L  0    L  L      lim f L   lim f lim g L L  0   L L L  0 L  0   L0 0 f  lim   g L L   0 0  ( On applique la règle des signes). Remarque :  0    , , 0   et sont

décroissante et ( ≤ − = lim − → ) est décroissante =0 → Devoir de synthése n°1 2013-2014 4éme maths Page 7 ) et ( ) sont adjacentes et convergent Donc les suites ( vers la même limite et par suite ( ) est une suite convergente ( )= 4) a)Soit =( on a : la fonction ont les mêmes variations dérivable sur [0, +∞[ ( )= − = c) Soit ( ) ) )( ; ) lim ) On a : + =∑ ( ) − ( = ) = ( = lim lim =0 → ) = → lim =0 → =0 → d) On a : ) → → ( )( = lim → =0 → =( ∈ [0

1 est vraie. ◗ Conclusion : par récurrence, pour tout entier k H 1 , k / i2 = k^k + 1h6^2k + 1h . i=1 4 On a : ^n - 1h^nh^2n - 1h 1 1 1 n = d1 - nd1 . Sn = 3 3 2 n n 6n 1 tend vers 0 lorsque n tend vers + 3 , on a Comme n 1 lim Sn = . 3 n "+3 ©Hachette Livre 2012 – Déclic Tale S Activité 5 Variations et équations Objectif Mettre en place un large panel de techniques de base pour étudier une suite récurrente : représentation graphique, conjectures, sens de variations

1 e) La limite de Pn doit être égale à 0,5 = . 2 On a donc bien une chance sur deux de tirer une boule blanche lorsque n devient infiniment grand. • Activité 2 1 a)  Pour tout nombre réel A  0, wn = 2n2 – 7  A dès A+7 que n  , donc lim w n = + ». n Æ+» 2 5 6 A est un nombre réel strictement positif 1 1 0  A soit n  2 A n 1 On note n0 un entier supérieur ou égal à 2 . A Conclusion : Pour tout nombre réel A, ]0 ; A[ contient tous les termes de la suite un dès

même intervalle I  Si ∀x ∈ I  lim g ( x) = +∞  x →α f ( x) ≥ g ( x) alors lim f ( x) = +∞ x →α Exemple Déterminer la limite en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur R par f ( x) = x + sin x On part de ∀x ∈ R ∀x ∈ R − 1 ≤ sin x ≤ 1 , soit encore en ajoutant x à chaque membre de l’inégalité x − 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1 • Etude en −∞ On utilise l’inégalité ∀x ∈ R x + sin x ≤ x + 1 et puisque lim ( x + 1) = −∞ x →−∞ d’après le théorème de comparaison lim ( x + sin x) = −∞ x →−∞ • Etude