LIM

¦ a pour limite +¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = +¥ x ® +¥ · grands en valeur absolue mais négatifs, on dit que ¦ a pour limite –¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = –¥ x ® +¥ · proches(2) d'un réel l, on dit que ¦ a pour limite l en +¥ et on note lim ¦(x) = l. x ® +¥ Définitions rigoureuses (données ici à titre indicatif) · Si pour tout réel M positif, il existe un réel A tel que : x  A Þ ¦(x)  M Alors on dit que ¦ a pour limite +¥ en +¥ et on note lim ¦(x) = +¥ x ® +¥ · Si pour tout

valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ . +∞ x → +∞ Une fonction f a pour limite + ∞ en − ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à gauche ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant négative et de valeur absolue suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ . −∞ x → −∞ Une fonction f a pour limite − ∞ en + ∞ lorsque

trouver un x assez grand pour que f (x) soit aussi grand que l’on veut. On écrit alors que lim f (x) = +∞. x→+∞ ¼ Remarque : on définit de la même façon, ¼ ¼ ¼ x→+∞ lim f (x) = −∞ x→−∞ lim f (x) = +∞ x→−∞ lim f (x) = −∞ PROPRIÉTÉ x→+∞ x→−∞ lim x = +∞ x→+∞ x→−∞ lim x2 = +∞ x→+∞ x→−∞ lim x3 = +∞ x→+∞ lim √ x = +∞ lim x = −∞ lim x2 = +∞ lim x3 = −∞ 1-2 Limite finie en +∞ et en −∞ DÉFINITION On dit qu’une fonction f a pour limite

 → j lim f ( x ) = + ∞ x → +∞  → O i Rem : De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) : Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) > M . On dit aussi que la fonction f tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞ . , lim x 3 = + ∞ , lim Exemples à connaître : lim x = + ∞ , lim x ² = + ∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x=+∞ x → +∞ On définit de la même façon … lim f ( x ) = – ∞ lim f ( x ) = – ∞ x → +∞ lim f ( x ) = +

: Déterminer les limites suivantes 𝑎) lim 𝑥→0 𝑥≠0 √1 + 𝑥 − √1 + 𝑥2 𝑥 ; 𝑏) lim 𝑥→+∞ √1 + 𝑥2 − √1 + 𝑥 𝑥2 ; 𝑐) lim 𝑥→0 𝑥≠0 ln(1 + 𝑥2) sin2(𝑥) ; 𝑑) lim 𝑥→1 ln(𝑥) 𝑥 − 1 Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Calculer lim 𝑥→+∞ 𝐸(ln(𝑥)) 𝑥 Allez

a)  lim un = l signifie que tout intervalle ouvert n Æ+» contenant  contient tous les termes un à partir d’un certain rang. 45 ˘1 3È b)  lim un = 1 et ˙ ; Í contient 1. Donc à partir d’un n Æ+» ˚2 2Î certain rang, tous les termes de la suite u sont dans ˘1 3È l’intervalle ˙ ; Í . ˚2 2Î 3.  Activités d’approche • Activité 1 1  a)  A fortiori, à partir d’un certain rang, tous les termes de 1 la suite u sont strictement supérieur à . 2 n Æ+» D’après un théorème de comparaison, lim vn = +

composition de x lim − = +∞ x→−∞ 2 lim eX = +∞ X→+∞ x2 + 2x est un polynˆme donc ses limites en l’infini sont les limites de son monˆme de plus haut degr´ o o e donc lim (x2 + 2x) = +∞ x→−∞ x limites :   x donc lim e(− 2 ) = +∞ x→−∞  x→−∞ x→−∞ lim e(− 2 ) = +∞ et lim (x2 + 2x) = +∞ donc lim h(x) = +∞. x→−∞ Etude en +∞ : x ( x )2 1 x 1 x 1 x h(x) = e− 2 x2 + 2x = x2 e− 2 + xe− 2 = 2 x + 2x . 4 4 2 e2 e2 D’apr`s le rappel de l’´nonc´, pour tout entier n strictement positif, lim e e e

arbitrairement pr`es du nombre L comme x approche c de la gauche et de la droite, alors on ´ecrit lim f (x) = L x→c et on dit que “la limite de f (x) comme x approche c est L.” Notez que dans la d´efinition ci-dessus c pourrait ˆetre : • un nombre r´eel fixe • −∞ • ∞ Intuition : lim f (x) = 3 x→∞ 1 LIMITES 4 Les limites de droite et de gauche : • lim− f (x) = L → limite de gauche. x→c • lim+ f (x) = L → limite de droite. x→c Dans ces cas tu approches la valeur seulement d’un cˆot´e. Exemple

nombre a est dit limite d’ une suite (xn )n2N quand n tend vers l’ in…ni, si pour tout " > 0 aussi petit qu’ soit, on peut trouver un numéro N (") tel il que tous les termes xn de numéro n > N (") véri…ent l’ inégalité jxn On écrit n!1 aj < ": lim xn = a et on dit que la suite (xn )n2N est convergente, sinon on dit qu’ elle est divergente. 15 16 M. El Hatri Un nombre a est dit point d’ accumulation d’ une suite (xn )n2N , si tout voisinage de a contient une in…nité des termes de

que lim = 0. On rappelle que lorsque t tend vers +∞, alors x→+∞ x t Pour x > 0, je pose x = et ⇐⇒ ln x = t alors lim t = +∞ et x→+∞ ln et ln x t 1 = lim = lim t = x→+∞ x t →+∞ et t →+∞ e lim lim et t →+∞ t =0 1 Soit f la fonction définie sur − ; +∞ par f (x) = e4x − ln (2x + 1). On appelle C f la représentation graphique de f . 2 Partie B Soit Φ la fonction définie sur R par Φ (x) = (8x + 4) e4x − 2 1. a. Calculer la limite de Φ en +∞.   lim (8x +