LIM

≈ 13,77. On prendra donc σ = 14. σ E XERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = xe−x . 1. D’après le cours, lim x→+∞ Donc lim f (x) = 0 ex x = +∞ ; donc lim x = 0 ce qui équivaut à lim x e−x = 0. x→+∞ x→+∞ e x x→+∞ 2. La fonction f est dérivable sur R donc sur [0 ; +∞[ et : f ′ (x) = 1 × e−x + x (−1 × e−x ) = e−x − x e−x = (1 − x) e−x Pour tout réel x, e−x > 0 donc f ′ (x) est du signe de 1

Th´or`me 2.2 Une suite r´elle croissante au del` d’un certain rang, non e e e a major´e diverge vers +∞. e 2.2.2 Suites adjacentes Definition 2.6 Deux suites r´elles u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N telles e que u soit croissante, v d´croissante et lim (vn − un ) = 0, sont dites ade n→∞ jacentes. Remarque 5 Si deux suites r´elles u = (un )n∈N et v = (vn )n∈N sont e adjacentes, alors un ≤ vn . Proposition 2.5 Deux suites r´elles adjacentes sont convergentes et e convergent vers la mˆme limite. e

erreur le numéro de ligne dans laquelle elle intervient. Dans ce problème, on se propose de mettre en œuvre un analyseur lexical. Il s’agit d’implémenter des fonctions en langage PYTHON pour un analyseur lexical d’un langage imaginaire qu’on appellera LIM. *** Rappel. Les fonctions et méthodes prédéfinies qui peuvent être utilisées dans ce problème : La fonction len(seq) : renvoie le nombre d’éléments de la séquence seq. La fonction range(deb,fin,pas) : renvoie … avec le pas La méthode append(elem) ajoute

question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée 1) Si lim f ( x)   et si pour tout x≤1 on a g ( x)  4x  2  x alors lim g  f ( x)   x   x   2) Soit f une fonction paire définit sur IR telle que lim f ( x)  l , l x   IR , alors lim f (  x )  l x   3) Soit f, g et h trois fonctions définies sur IR telles que pour tout réel x , g(x) ≤f(x) ≤ h(x). Si lim g ( x)  2 et lim h( x)  4 alors f admet une limite en +∞ x   x   4) Si f est une

1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) 6 f (x) 6 v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim x!a f (x) = l 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez voisin de a »on a f (x) > u(x), et si : lim x!a u(x) = +1, alors lim x!a f (x) = +1 (Énoncé analogue pour −1) Démonstration : Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée

est réalisée : f (a + h) − f (a) a une limite finie l en 0, ou encore – la fonction h −→ h f (x) − f (a) a pour limite l quand x tend vers a. que la fonction x −→ x−a – pour tout réel h tel que a + h ∈ I, f (a + h) = f (a) + hl + hε(h) avec lim ε(h) = 0. h→0 Le nombre l est appelé nombre dérivé de la fonction f en a. Remarques : f (a + h) − f (a) (h = 0) est appelé taux de variation de f entre a et a + h. h f (a + h) − f (a) (h = 0) est le coefficient directeur de la droite – Soit

(3) On dénit λt ≡ µt eρt - Les conditions nécessaires d'optimalité sont : (6) t→∞ ∂ Ht = 0 ∂ct ∂ Ht = −µt ˙ ∂kt lim kt µt = 0 - En utilisant l'équation (27), l'équation (6) et ˙ µt = λt e−ρt − ρλt e−ρt ˙ les CPO se réécrivent : t→∞ - Soit : u (ct ) = λt ˙ λt = λt [ρ + n − f (kt )] lim kt u (ct )e−ρt = 0 du (ct )/dt = ρ + n − f (kt ) u( ct ) lim kt u (ct )e−ρt = 0 3 (7) (8) t→∞ 2.2 Interpretation - L'équation (7) peut se réécrire ct u (ct ) dct /dt = ρ

décroissante si A > 0 Méthode pratique : d ax+b On obtient rapidement le graphe d'une fonction homographique f : x ∈ IR \ {- c } ↦ cx+d en procédant ainsi: d 1. on trace les 2 asymptotes, d'équations x = - c ( racine du dénominateur) a a et y = c (c = lim f(x) = lim f(x) ). x->+∞ x-> - ∞ d - c  puis le centre de symétrie Ω  a  ( intersection des asymptotes) ; c 2. les 2 asymptotes partagent le plan en 4 quadrants. On calcule la position d’1 point du graphe pour déterminer 1 des deux quadrants occupés

valeurs de f ( x ) pour x assez proche de a - c’est à dire pour les x d’un intervalle ] a − η; a + η [. On note alors : ℓ O lim f ( x ) = ℓ a-η a a+η x→a 1.2 Continuité en un point Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I. Soit a un élément de I. On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si : lim f ( x ) = f ( a) x→a La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I. Remarque

naturel n les suites (un) et (vn) définies par : un = n3 et vn = – n2. On a alors un + vn = n3 – n2 = n2(n – 1). On a lim un = +∞ ; lim vn = −∞ et lim (un + vn) = +∞. b. VRAI c. VRAI d. FAUX : Considérons pour tout entier naturel n non nul les suites (un) et (vn) définies par : 1 1 un = 2 + et vn = . n n 1 2+ n u On a alors n = = 2n + 1 (vn ≠ 0) vn 1 n u On a lim un = 2 ; lim vn = 0 et lim n = +∞. vn Affirmation 1.a Affirmation 1.b Affirmation 1.c Affirmation 2.a Affirmation 2.b Affirmation 2.c Affirmation