LIM

1 . 19 Cette suite est donc géométrique de raison b. Ainsi un = 14 1 95 20 n donc pn = n 14 1 95 20 + 1 . 19 1 . 19 c. Vu que −1 < 1 1 < 1 , lim n→+∞ 20 20 = 0 donc lim pn = n →+∞ 5. Exercice 4 1. Restitution organisée de connaissances. L’objet de cette question est de démontrer que lim On supposera connus les résultats suivants : (P1) la fonction exponentielle est dérivable sur (P2) e = 1 ; (P3) pour tout réel x, on a ex > x ; (P4) soient deux fonctions ϕ et

|f (x) − | < ε . lim f (x) = ⇐⇒ lim f (x) = ∞ ⇐⇒ lim f (x) = ⇐⇒ x→a x→a x→∞ Dans ces d´efinitions on a volontairement gard´e les mˆemes symboles, bien qu’il soit d’usage de remplacer dans la deuxi`eme d´efinition le symbole ε par M et dans la troisi`eme d´efinition le symbole δ par M . Si on sait que la condition d(x, ∞) < ε se traduit comme x > cotan(ε), il n’est pas difficile de voir que ces trois d´efinitions cit´ees ci-dessus sont ´equivalentes aux d´efinitions lim f (x) = ⇐⇒ ∀ε >

+ 8 , ce qui est vrai. √ √ c. On a lim 2 n + 1 − 2 = +∞ et Sn ≥ 2 n + 1 − 2. Par comparaison, lim Sn = +∞ n→+∞ n→+∞ et la suite (Sn ) est divergente. 1 On dit que la s´rie de terme g´n´ral √ est une s´rie divergente. e e e e k d. Des questions a. et b., on d´duit l’encadrement e √ √ √ 2 n+1−1 S n−1+ n √n ≤ √ √ . ≤ un = n n n √ √ √ 2 n+1−1 n−1+ n √ √ = lim = 2. Le th´or`me d’encadrement (“des e e Or, lim n→+∞ n→+∞ n n gendarmes”) permet d’affirmer que lim un = 2. n→+∞ ` PROBLEME A.1. e f (x)

est du signe de x + 1 sur [0; +∞[, soit strictement positif. Donc g est strictement croissante sur [0; +∞[. b. En déduire qu’il existe un réel positif unique α tel que : αeα = 1. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−3 . g (0) = 1 et lim g (x) = +∞, car lim e x = +∞. x→+∞ x→+∞ g est une fonction continue sur [0; +∞[, comme produit et somme de fonctions continues, de plus g est strictement croissante sur [0; +∞[ à valeurs dans [1; +∞[. Or 0 ∈ [1; +∞[. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires

ren- voyons le lecteur pour des énoncés parfois plus complets2. Pour un ouvert Ω ⊂ C, O(Ω) désigne l’ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. On rappelle qu’une fonction f : Ω → C est dite3 holomorphe sur Ω si, pour tout a ∈ Ω, la limite (dans C) lim Ω3z→a ( f(z) − f(a) ) /(z − a) existe4 ; on la note alors f ′(a). Une fonction holomorphe sur tout le plan complexe (f ∈ O(C)) est dite entière et, comme il a déjà été noté, C[z] ⊂ O(C). Enfin, voici un résultat élémentaire que nous utiliserons

+ Q ] − ∞ ; −3] Q Q s Q −e−4 − 1 −3 g(x) = 0 g(x) = 0 3   +∞ +∞ R x 0 g 7  ¦ § 7  # ! 7    7 7  % § ¨   ©   ¨ §  # & 7  2 x→+∞ lim x2 = +∞ x→+∞  lim x2 = +∞ x→+∞ lim f (x) = +∞ lim ex−1 = +∞ lim ex−1 = 0 f (x) = x2 ex−1 − lim (x − 1) = −∞ V U # %!   x→−∞ u = (λ − 1)y + 1 ⇐⇒ (e−x f ) = (λ − 1)e−x f + 1 ⇐⇒ −e−x f + e−x f = λe−x f − e−x f + 1 ⇐⇒ e−x f = λe−x f + 1 ⇐⇒ f = ex (λe−x f + 1) ⇐⇒ f = λf

pre20 20 1 1 1 1 14 mier terme u 1 = p 1 − = 0, 2 − = − = . 19 19 5 19 95 1 1 14 1 n−1 14 1 n−1 et p n = u n + . = + b. On en déduit : p n = p 1 q n−1 donc p n = 95 20 19 19 95 20 Pour tout n = 0, u n+1 = c. −1 < 1 1 < 1 donc lim n→+∞ 20 20 n−1 = 0 et par conséquent : lim p n = n→+∞ 1 . 19 E XERCICE 4 Commun à tous les candidats 7 points 1. Restitution organisée de connaissances. a. Soit la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g (x) = ex − x2 . 2 g est dérivable comme différence de fonctions

dérivée de f(t). Nous admettrons que la transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction f dépend essentiellement des conditions initiales pour t = 0 et s’écrit sous la forme: f ∏ (t ) = df(t ) dt a p $ F(p ) − f(0 + ), avec f(0 + ) = lim f(t ) + td0 Remarque : f(0+) est la valeur de f(t) quand t s’approche de 0 par valeurs positives. Par définition, f(0 -) = 0. 6 / 10 11/05/2006, 10:47 calcul_operationnel_bis.lwp D:\thierry\IUT\analyse_cours Partie IV : calcul opérationnel

des dépenses de personnel par habitant. Cet estimateur est-il convergent ? ∑ Comme estimateur sans biais de la variance on dispose de La distribution de cet estimateur est telle que # On a donc E( On a donc : 3 lim lim →8 9! ! et ()* + →8 ()*! # # $% lim ! # →8 lim $% , # ↝ ' ! − # 2!- − 1#, ./ 0ù ()*! →8 +2 $2 , , donc 0 # 2 $2 est un estimateur convergent de 3) Proposez une estimation ponctuelle de l’écart-type des dépenses par habitant On calcule D’où d’où

Une chaîne de Markov est dite pure ou régulière, ou encore sans explosion si lim pii (t) = 1, i ∈ E , t→0 Hypothèse: pij (∆t) = qij ∆t + o(∆t), avec lim i, j ∈ E , j = i, ∆t > 0 o(∆t) = 0, de telle sorte que ∆t→0 ∆t qij = lim ∆t→0 pij (∆t) , ∆t i, j ∈ E , j = i. On a donc: oi (∆t) = 0. ∆t→0 ∆t De manière à rester homogène avec les notations, on pose pii (∆t) = 1 + qii ∆t + oi (∆t), avec lim qii = −λi = lim Abdeslam Kadrani, INSEA–Rabat ∆t→0 pii (∆t) − 1 . ∆t Processus Stochastique