LIM

’’+2y’-3 = 0 PROBLEME I- La fonction f définie par : f(x)=〖2x℮〗^x ; x∈├]0 ; 5 ] Est l’évaluation d’une dette contractée au près d’une institution financière internationale en des milliers de dollars U S. Calculer puis interpréter : lim┬(x→0)⁡〖f(x) et lim┬(x⟶5)⁡〖f(x)〗 〗 Calculer puis étudier les signes de f’(x) Montrer que f admet une bijection sur ├]0 ;5] que l’on précisera Etablir le tableau de variation de f puis en déduire le sen de la dette contractée Tracer, dans le plant muni

Métropole 10 juin 2021; Corrigé du baccalauréat Centres étrangers 10 juin 2021 < Candidats libres Sujet 2 ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B. EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Question 1 : On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par g (x) = x2 +2x − 3 x . Si T est la tangente à la courbe représentative de g au point d’abscisse 1, on sait que : M (x

Graphiquement la courbe Γ esrt au dessus de l’axe des abscisses. Partie B 1. On sait que lim e−x = +∞, donc lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞ 1 + 2e−x = +∞. Comme lim x = −∞, lim f (x) = −∞. 2. a. On a lim e−x = 0, donc lim 1 + 2e−x = 1 et finalement lim f (x) = x→+∞ x→−∞ x→+∞ +∞. x→+∞ x→+∞ x→+∞ b. Soit d la fonction définie sur R par : d(x) = f (x) − x = x + 2xe−x = 2xe−x . lim e−x = 0 et lim xe−x = 0, c’est-à-dire lim d(x) = 0, ce qui montre que la droite D d’équation y = x est asymptote à Γ au vosinage

fonction numérique, définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles, dont a est un élément. Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d’accroissement de f en a. On note lim f ( x ) – f ( a ) = f ′ ( a ) ou bien en posant x = a + h : -------------------------x→a x–a lim f ( a + h ) – f ( a ) = f ′ ( a ) . -----------------------------------x→a h Remarque : si la limite du taux d’accroissement en a est infinie ou n’existe pas, alors la fonction f n’est pas dérivable en

-2 -2.5 -3 -3.5 -4 1) Déterminer le domaine de définition D f de f . 2)Déterminer : lim f x   ……………………………….. ; lim f x   ……………………… x  x  lim f x   ……………………………….; lim f x   ………………………. x 2 x 2 3) Déterminer les équations des asymptotes: y  .................... ; y  ....................... et x  ............................. 4) Déterminer lim f x   x  2  …………………………… x  

au point d’abscisse −1. Correction 1. Il faut lire les coefficients directeurs sur la figure pour f’(0), f’(−2) et f’(1) :             3 0 1 2 1 1 2 1 ' 0 ' 2 0 ' 1 2 2 f f f f f f         2. On calcule 0 0 0 ( ) (0) lim lim lim 0 '(0) 0x x x f x f x x x f x x         . On peut calculer avec la formule du produit, mais c’est plus élégant de passer par 1 1/2 3/2 ( )f x x x x x x   d’où 3 1 1 2 2 3 3 3 '( ) 2 2 2 f x x x x     . La dérivée n’existe que

2x = f (2 x ) e +1 = 14 e x – 2 + e – x = ( e x )2 – 2e x + 1 ( e x – 1)2 = 0 ex ex 15 18 a) Pour tout réel x, f ¢( x ) = - e - x  0. Donc f est une fonction décroissante sur . b) • lim - x = + »et lim e X = + » x Æ-» Donc lim e - x = +» X Æ+» x Æ-» • lim - x = - »et lim e X = 0 x Æ+» Donc lim e - x = 0 c)  X Æ-» x Æ+» x f(x) –∞ +∞ +∞ 21 f(x) = ex + e–x est dérivable comme une somme de deux fonctions dérivables sur . Pour tout réel x,  f ¢(x) = ex – e–x. f ¢(0) = 1 – 1 = 0 

Mais si f est définie en x0 et si lim f (x) existe, alors lim f (x) = f (x0 ) . x →x0 x →x0 Si une fonction admet une limite l en x0 , cette limite est unique. • Limite à gauche, limite à droite – f admet une limite à droite l en x0 si la restriction de f à I ∩ ]x0 ,+∞[ admet pour limite l en x0 . On note : lim+ f (x) = l . x→x0 – f admet une limite à gauche l en x0 si la restriction de f à I ∩ ] − ∞,x0 [ admet pour limite l en x0 . On note : lim− f (x) = l . x→x0 – Si f est

un il résulte que p n = 0, 2 + c. On sait que 0 < 1 0, 8 < 1 entraîne que lim n−1 = 0, donc lim p n = 0, 2. n→+∞ n→+∞ 2 2 E XERCICE 4 Commun à tous les candidats PARTIE A 1. Étude des limites 1 1 a. • lim = +∞,donc lim e x = +∞ ; x→+∞ x→0 x 1 • lim 2 = +∞, x→0 x donc par produit de limites lim f (x) = +∞. x→0 4 points 1 1 b. Comme lim = 0, lim e x = 1. x→+∞ x n→+∞ 1 Or lim 2 = 0, donc par produit de limites lim f (x) = 0. x→+∞ x x→+∞ c. La première limite montre que l’axe des ordonnées

0 Diagramme de Bode : En basse fréquence (   0 ) : lim G( )  1 donc lim GdB  0 . On a donc une asymptote horizontale en   .  0  log   0       0 lim ( )  0 donc  log   0 lim       ( )  0 . On a aussi une asymptote horizontale. En haute fréquence (   0 ) : G( ) ~    0     Donc lim  log(G )  log 0    0             0  Soit lim  GdB ( )  (20log )   0       Y     X  