LIM

au vecteur vitesse instantanée, il est donné par:   x  V = lim Vmoy = lim ( i) t → 0 t → 0 t  x  dx  V = lim ( ) i = i dt t → 0 t   d d → V = (x i ) = (OM) dt dt Durant l’intervalle de temps [t1,t2], La vitesse de l’objet M passe de V1 à V2. On a:    V -V V  2 1 amoy = = t2 - t 1 t   ( V // amoy ) Accélération moyenne:   a mo y  V t   (V // a mo y) Accélération instantanée:  a = lim t → 0 Vx  i t dVx  = i dt  dV d d OM d2 OM = ax i

r´eel b, ce qu’on note lim f (x) = b, si, pour toute suite xm (m ∈ N0 ) de A x→x0 qui converge vers x0 , la suite f (xm ) converge vers b. Remarque : pour une limite ` a gauche de x0 , not´ee lim− f (x) = b, les intervalles ouverts contenant x0 x→x0 rencontrent A∩ ] − ∞, x0 [ et les suites sont constitu´ees de r´eels xm < x0 . De fa¸con analogue, on parle d’une limite a` droite de x0 que l’on note lim+ f (x) = b. x→x0 • La limite en x0 de f est infinie, ce qu’on note lim f (x) = ∞, si, pour toute

si et seulement si chaque suite suite réelle k x m  ( k  1, . . , n ) converge dans  et l’on a : lim m x m  lim m x 1 , lim m x 2 , . . . , lim m x n  m m m Propriètès : Soient u m , v m  deux suites convergentes de  n et  réel , alors grâce aux propriètès des suites réelles , nous avons : i) lim m u m  v m   lim m u m  lim m v m ii) lim m u m   lim m u m Remarques:1) La convergence d’une suite ne dépend pas de la norme choisie dans n  . 2) On peut

+ lim x.sin 1 = x a) 0 b) 1 c) +  2) L’image de l’intervalle [– 1, 2 ] par la fonction f : x  x2 est a) [0 , 4] b) [1, 4] c) [– 1 , 4] x–i a pour module : x+i c) 2 3 x2 – 1 x2 + 1 3) Soit x un réel. Le nombre complexe z défini par : z = x–1 x+1 4) Un argument du nombre complexe : –1 + i 3 est :   a) b) – 3 3 a) 1 b) c) Exercice 2 : (4 points)  f(x) = cosx  1–x Soit la fonction f définie par :  f(x) = x3 – 12x + 1  f(x) = 1 + x – x2 – 4  1) Calculer lim f(x)

rationnelles en ±∞), on «sépare la fraction» : ( ) 1 = ( )× ( ) ( ) 2-4 Asymptotes x→a • Si lim f (x) = ±∞ alors la droite verticale d’équation x = a est asymptote à C f . • Si lim f (x) = b alors la droite horizontale d’équation y = b est asymptote à C f . x→±∞ x→±∞ • Si lim f (x) − (ax + b) = 0 alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C f . • De façon générale, si lim f (x) − g(x) = 0 alors les courbes C f et Cg sont asymptotes. x→±∞ • Pour déterminer la position

logarithmes (d’où le logarithme népérien après que son nom soit francisé en Néper). Malgré cela, ce nombre est appelé nombre d’Euler, d’après un mathématicien suisse du 18e siècle : Leonhard Euler (17071783). Le nombre d’Euler est défini par la limite e = lim n→∞ 1 1+ n n ∼ 2.71828 = Le nombre e est irrationnel. Cela signifie qu’il ne peut pas s’écrire comme une fraction et qu’il n’y a aucune période dans son écriture décimale. Les premières décimales du nombre e sont 2.7182818284590452. En novembre

suite Lun). 3") Si L = 1 (ou C = -1) on ne peut rien dire : Si un = n on a L = 1 mais (un) diverge Si un = l/n on a C = 1 mais (un) converge vers O lim un+1- 1 -- u X Par conséquent : si I x I > 1 alors (un) + O si I x l e 1 , (un) diverge si x = 1 si x = - 1 un = nk un -++00 . (un) diverge (un) diverge. un = (-l)"nk lim n+aJ vn+l -O ainsi v, -+ O pour tout x E W*. Vn Comme pour x = O , (v,) est la suite constante et égale à O (n E N*), il s'en suit que

On note lim f (x) = . x→x0 Cette définition ne précise pas si f est définie ou non en x0 . Dans le cas où f est définie en x0 , la valeur de la limite ne dépend pas de f (x0 ) c-à-d que peut être différent de f (x0 ). Limite à droite et limite à gauche — On dit que est une limite à droite de f en x0 et on note lim f (x) = x→x+ 0 ∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ x ∈ Df : 0 x>x0 x0 < x < x0 + η =⇒ |f (x) − | < ε. — On dit que est une limite à gauche de f en x0 et on note lim f (x) =

on a lim h = 0 et on sait que lim = 1. n→+∞ n h→0 h Donc lim ln [P(S n = 0)] = −10 et par continuité de la fonction exponentielle : lim P(S n = 0) = e−10 . n→+∞ n k+1 n→+∞ b. P(S n = k + 1) = 10 n k+1 1− 10 n n−k−1 = 10 10 k+1 10 n−k−1 n − k n 10 k 10 n−k n! n ×n = 1− 1− = k (k + 1)!(n − k − 1)! n n k +1 n n 1 − 10 × n n n −k 10 P (S n = k) × × . n − 10 k + 1 n −k c. On a lim = 1 (problème si k = n !). n→+∞ n − 10 10k 10 10k , alors lim P (S n = k + 1) = e−10 × = Si lim P (S

usuelles lim x 0 x 0 1 =∞ x 1 =0 x lim x 0 x 0 1 =−∞ x 1 =0 x lim x 0 1 =∞ x2 lim x a x a 1 =∞ x −a lim x a x a 1 =−∞ x −a x  ∞ lim x  −∞ lim pour tout n ∈ ℕ * , lim x  −∞ 1 1 =0 , lim n =0 n x x  ∞ x x  ∞ lim x 2 = ∞ x  −∞ lim x 2 =∞ n 2n 2 n1 =−∞ pour tout n ∈ ℕ * , xlim∞ x =∞ , xlim∞ x =∞ et x lim∞ x  − − x  ∞ lim  x=∞ lim ln  x  =∞ lim ln  x  =0 x lim ln x =−∞ x lim x ln 