LIM

a a x est strictement décroissante. x     Comportement asymptotique  Si a 1, alors lim a x  0 et lim a x  . x x x x  x Si 0  a 1, alors lim a   et lim a x  0 .  2. Croissances comparées  Pour tout entier naturel non nul n , on a :   ex lim   x x n x lim x e  0 n x ln(x) lim 0 x x n ex   x ln(x) lim  Les automatismes à avoir Pour lever une indétermination lorsque l’expression de f (x) contient

l’existence d’un polynôme Q de degré 2 tel que P( x) = ( x − 2 ) Q ( x) puis déterminer ce polynôme Q. 3. Terminer la factorisation du polynôme P. 4. Conclure. EXERCICE 5 – 4 points Objectif : on cherche à démontrer le résultat admis en 1ère S : « lim qn = +∞ quand q > 1 ». n→+∞ 1. On considère un entier naturel n tel que n ≥ 2 et la fonction f n de la variable x, définie sur [0 ; +∞[ par : f n (x) = (1 + x)n − (1 + nx) a. Etudier les variations de f n et calculer f n (0). En déduire que f n

racine. lim  a x = +  et lim  a x = 0  si 0 < a < 1 : expa (x) est une fonction strictement décroissante de R dans R 0  (0,1) et (1, a)  G a x n'admet pas de racine. lim  a x = 0 et lim  a x = +  Nous allons maintenant justifier ces observations. 3.3 Etude des caractéristiques de la fonction expa (x) 3.3.1 Dérivée de la fonction expa (x) En utilisant la définition de la dérivée : f '(x) = x )x(f)xx(f lim 0x    , nous avons : (a x ) ' = x aa lim xxx 0x

(strictement positif): @ ( x0 ) − @ ( x0 + h) f ( x0 )   f ( x0 + h) −h @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 1   [2]. x0 h x0 + h 1 1 = donc d’après c) Dans l’encadrement [1], lim h→ 0 + x + h x0 0 le théorème « des gendarmes », @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 = lim . h→ 0 + h x0 De même, à partir de l’encadrement [2], @ ( x0 + h) − @ ( x0 ) 1 = lim . h→ 0 − h x0 Ainsi le taux d’accroissement de la fonction @ entre x0 et 1 x0 + h admet une limite finie lorsque h tend vers 0, x0 1 donc la fonction @ est dérivable

de sup 2009, épreuve commune, extrait) Problème 2 Pour n ∈ N, on pose S n = n ∑ (−1)k , u n = S 2n et v n = S 2n+1 . k=0 k! Partie I : convergence de (S n ) 2 Q1) a) Montrer que (u n ) et (v n ) sont strictement monotones et que lim u n − v n = 0. Conclusion ? b) En déduire que la suite (S n ) converge vers une limite et que c) Montrer que ∀n ∈ N, |S n − | 1 3 1 < < 2. 1 . (n + 1)! d) À partir de quelle valeur de n est-on sûr que S n est une valeur approchée de à 10−3 près

x→a lim f (x) = , si pour tout intervalle ouvert J contenant , il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que ∀x ∈ I \ {a}, f (x) ∈ J, i.e. les images des ´l´ments de I \ {a} ee appartiennent ` J. a Exemple 2.2. Les limites suivantes sont ` connaˆ a ıtre. log(1 + x) sin(x) = 1 , lim =1, x→0 x→0 x x exp(x) − 1 1 − cos(x) 1 lim = 1 , lim = . 2 x→0 x→0 x x 2 D´finition 2.3 (Continuit´). Soit f une fonction de A dans R. Soit a ∈ A. La e e fonction f est continue en a si lim x→a lim f (x)

An ) 6 n=1 n=1 1 X (An ) . Proposition 3 Soit (X; A; ) est un espace mesuré. 1. Si (An ) est une suite croissante d’ éléments de A, alors ( 1 [ An ) = lim n=1 n!+1 (An ) . 2. Si (An ) est une suite décroissante d’ éléments de A, et s’ existe n0 tel que (An0 ) < +1 alors il ( 1 \ An ) = lim n=1 n!+1 (An ) . 3 1. 2. Mesure de Lebesgue sur R ([0; 1]) = 1, (B + a) = (B), 8B 2 B(R) et 8a 2 R. b réels, ([a; b]) = (]a; b[) = ([a; b[) = (]a; b]) = b a

de x0 v´rifiant e e f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + · · · + an (x − x0 )n + (x − x0 )n (x) et x→x0 lim (x) = 0 Le polynˆme a0 +a1 (x−x0 )+· · ·+an (x−x0 )n s’appelle partie principale du d´veloppement o e limit´ et le terme (x − x0 )n (x) s’appelle le reste. e Remarque : Dire que f admet un d´veloppement limit´ ` l’ordre n en x0 signifie qu’il e ea existe des nombres a0 , a1 , . . . , an tels que lim f (x) − a0 − a1 (x − x0 ) − · · · − an (x − x0 )n =0 (x − x0 )n x→x0 Plus n est grand meilleure

2>10 p , il suffit de prendre … Pour tout entier naturel p , le plus petit entier N … On a ainsi prouvé que … On admet les résultats suivants : Théorème 1 ( limites de référence ) Pour tout entier naturel non nul k , on a: n →+∞ lim nk = et n →+∞ lim √ n= Exercice 1 Le nuage de points ci-contre représente les 30 premiers termes de la suite (U n ) définie pour tout entier naturel n par U n=3 n 3+5 n 1) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (U n ) ? 2) A l'aide

égal à k, kn kk ≤ . n! k! b) En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, x xn ≤ n! k n × kk . k! c) Montrer que : xn = 0. n→+∞ n! lim 2) a) Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, nn−1 ≥ 1. n! nn−1 comme un produit de n − 1 facteurs supérieurs ou égaux à 1). n! b) En déduire que : (on pourra écrire nn = +∞. n→+∞ n! lim 4 EXERCICE 3 1. a. Soient x un réel positif ou nul puis k un entier strictement supérieur à x. Montrons par récurrence que pour tout entier